Mathe | Fragen zu einer e-Funktion

Alias1979_0df812 · 24. April 2006 um 20:52

Hallo Experten

Im voraus will ich klarstellen, dass „“…"" für einen kommentar von mir steht, mir ist keine bessere idee eingefallen diese darzustellen.

Ich muss eine Kurvendiskussion zu einer funktion machen, die ich bis vor ein paar tagen noch nicht kannte. die e-funktion:
f(x)= e^x/
x-1 „„der zeilenunbruch soll einfach nur verdeutlichen, dass es sich um ein bruch term handelt.““

Jetzt hänge ich bei der bestimmung der nullstellen schon fest:

e^x/ = 0 |:e^x „“(im unterricht hat jemand diesen schritt angewendet
x-1 ""und er war aus sicht des lehrers richtig. ich habe
„„das allerdings noch nie vorher gesehen, naja…)““

x-1 = 0 |+1

x = 1
so nun ist die extremstelle 1, aber es gibt ja eine definitionslücke bei 1! von daher kann das ja garnicht sein, oder? was hab ich falsch gemacht?

problem ist bei mir beim ableiten. Ableiten kann man hier am besten mit der Quotientenregel, wir haben das so gelernt:

f’(x) = u’*v-u*v’/ „“(wieder ein bruch, deswegen der umbruch)""
v²

f(x)= e^x/
x-1

u = e^x
u’ = e^x „“(e^x abgeleitet bleibt ja e^x)""
v = x-1
v’ = 1

nun wird in die obige formel eingesetzt:

f’(x) = e^x*(x-1)-e^x*1/
(x-1)² „“(x-1) kann ich hier rauskürzen (hoffe ich!)""

f’(x) = e^x-e^x*1/
(x-1)

nach dem zusammenfassen kommt dann die erste ableitung raus:

f’(x) = 0/
(x-1) „„sieht doch sehr komisch aus…““

mein alternativ-ergebnis, ohne (x-1) rauszukürzen wäre:

f’(x) = e^x²-2e^x/
(x-1)²

welches stimmt? und stimmt überhaupt irgendwas?

So nun folgt die 2. ableitung (bei der bin ich mir garnicht mehr sicher ) Ich habe hierfür meine alternativ-ableitung genommen, die andere war mir zu seltsam.

wieder wende ich die quotientenregel an:
f’’(x) = u’*v-u*v’/
v²

f’(x) = e^x*(x-1)-e^x*1/
(x-1)²

u = e^x²-2e^x
u’ = e^2x-2e^x
v = (x-1)²
v’ = x²-1 „“(bin mir nicht sicher, ob ich hier
v’ = 2x „„richtig abgeleitet hab (v’))““

nun wird wieder in die obige formel eingesetzt:

f’’(x) = e^2x-2e^x*(x-1)²-e^x²*2x/
(x-1)^4 ""ich könnte wohl auch hier wieder
„“(x-1) rauskürzen, ich lass es
„„aber.““

nach dem zusammenfassen kommt dann die zweite ableitung raus:

f’’(x) = e^2x-2e^x³-2e^x-e^2x²
(x-1)^4

kann das noch stimmen?
Hilfe experten, hilfe!

Moritz_fe1b4f · 24. April 2006 um 21:12

Hallo,

Ich muss eine Kurvendiskussion zu einer funktion machen, die
ich bis vor ein paar tagen noch nicht kannte. die e-funktion:
f(x)= e^x/
x-1 „„der zeilenunbruch soll einfach nur verdeutlichen,
dass es sich um ein bruch term handelt.““

Ich schreib das ganze noch mal in der „üblichen“ Notation:
f(x) = e^x / (x-1)

Jetzt hänge ich bei der bestimmung der nullstellen schon
fest:

gibt es nicht. e^x > 0 für beliebiges x.

so nun ist die extremstelle 1, aber es gibt ja eine
definitionslücke bei 1! von daher kann das ja garnicht sein,
oder? was hab ich falsch gemacht?

Es ist daher keine Extremstelle. Stell es dir grafisch vor: für x > 1 ist die Funktion positiv, wenn du also von rechts auf die x=1 zugehst geht der Funktionswert gegen plus unendlich, von links gegen minus unendlich.

problem ist bei mir beim ableiten. Ableiten kann man hier
am besten mit der Quotientenregel, wir haben das so gelernt:

f’(x) = u’*v-u*v’/ „“(wieder ein bruch, deswegen der
umbruch)""
v²

f(x)= e^x/
x-1

u = e^x
u’ = e^x „“(e^x abgeleitet bleibt ja e^x)""
v = x-1
v’ = 1

nun wird in die obige formel eingesetzt:

f’(x) = e^x*(x-1)-e^x*1/
(x-1)²

f’(x) = (e^x *(x-1) - e^x) / (x-1)²

Da kannst du kein x-1 kürzen, weil der zweite Term im Zähler kein x-1 hat.

„“(x-1) kann ich hier rauskürzen

(hoffe ich!)""

f’(x) = e^x-e^x*1/
(x-1)

nach dem zusammenfassen kommt dann die erste ableitung raus:

f’(x) = 0/
(x-1) „„sieht doch sehr komisch aus…““

mein alternativ-ergebnis, ohne (x-1) rauszukürzen wäre:

f’(x) = e^x²-2e^x/
(x-1)²

Stimmt.

welches stimmt? und stimmt überhaupt irgendwas?

Das zweite.

wieder wende ich die quotientenregel an:
f’’(x) = u’*v-u*v’/
v²

f’(x) = e^x*(x-1)-e^x*1/
(x-1)²

u = e^x²-2e^x
u’ = e^2x-2e^x
v = (x-1)²
v’ = x²-1

Das stimmt nicht: Das Quadrat abgeleitet gibt 2(x-1), (x-1) nachdifferenziert den Faktor 1. Wenn du dir bei soetwas nicht sicher bist, kannst du es einfach ausmultiplizieren und dann ableiten.

also: v’(x) = 2(x-1)

Den Rest kanns du wieder alleine.

Grüße,
Moritz

Puerstinger_Josef_6eca50 · 24. April 2006 um 21:20

Hallo Ryan,

Ich werde mir erlauben, Deine Gleichungen besser lesbar zu machen:

Ich muss eine Kurvendiskussion zu einer funktion machen, die
ich bis vor ein paar tagen noch nicht kannte. die e-funktion:

 e^x
f(x) = ---
 x-1

Jetzt hänge ich bei der bestimmung der nullstellen schon
fest:

e^x
--- = 0 | :e^x
x-1

(im unterricht hat jemand diesen schritt angewendet und er war
aus sicht des lehrers richtig. ich habe das allerdings noch
nie vorher gesehen, naja…)

Du darfst bei Gleichungen durch alles dividieren wenn
(a) dadurch keine Lösung verloren geht
(b) Du nicht durch 0 dividierst.

Da e^x immer grösser als 0 ist, ist die Division erlaubt.

x-1 = 0 |+1

Fehler: Nach dem kürzen erhältst Du aus obiger Gleichung

1
— = 0 | *(x-1)
x-1

x = 1

1 = 0, d.h. es gibt keine Nullstelle.

so nun ist die extremstelle 1,

Fehler: Nicht Extremstelle, sondern Nullstelle (falls Deine Rechnung richtig gewesen wäre).

aber es gibt ja eine
definitionslücke bei 1! von daher kann das ja garnicht sein,
oder? was hab ich falsch gemacht?

Wenn Deine einzige Nullstelle ausserhalb der Definitionsmenge ist, dann gibt es halt keine Nullstelle.

problem ist bei mir beim ableiten. Ableiten kann man hier
am besten mit der Quotientenregel, wir haben das so gelernt:

 u'\*v-u\*v'
f'(x) = ---------
 v²

 e^x
f(x)= ---
 x-1

u = e^x
u' = e^x 
v = x-1
v' = 1

nun wird in die obige formel eingesetzt:

 e^x\*(x-1)-e^x\*1
f'(x) = ---------------
 (x-1)²

(x-1) kann ich hier rauskürzen
(hoffe ich!)

Man könnte, wenn man die rechte Seite in eine Subtraktion von 2 Brüchen umwandelt, aber so kommen wir zum
3. Fehler:

 e^x-e^x\*1
f'(x) = ---------
 (x-1)

ist leider falsch, richtiger wäre

 e^x e^x
f'(x) = --- - ------
 x-1 (x-1)²

nach dem zusammenfassen kommt dann die erste ableitung raus:

 0
f'(x) = -----
 (x-1)

sieht doch sehr komisch aus…

Nicht nur das, es ist auch leider Falsch

mein alternativ-ergebnis, ohne (x-1) rauszukürzen wäre:

 e^x²-2e^x
f'(x) = ---------
 (x-1)²

Ein kleiner Tipp: (e^x)*x = x*e^x, nicht e^x². Somit erhält man

 x e^x - 2e^x x - 2
f'(x) = ------------ = e^x ------
 (x-1)² (x-1)²

Die 2. Ableitung stimmt aufgrund der Fehler in der 1. Ableitung leider auch nicht.

HTH,
Pürsti

Puerstinger_Josef_6eca50 · 24. April 2006 um 21:23

Hallo Moritz,

Du bist über eine kleine Falle gestopert:

mein alternativ-ergebnis, ohne (x-1) rauszukürzen wäre:

f’(x) = e^x²-2e^x/
(x-1)²

Stimmt.

leider nicht, da Ryan aus (e^x)*x ein e^x² machte.

Aber dafür warst Du um 8 Minuten schneller als ich

Einen schönen Abend,
Pürsti

RaL_343f15 · 25. April 2006 um 10:08

Huhu,

dem Lehrer bzw. Schüler war wohl klar, dass e^x keine Nullstelle besitzt und somit auch die Funktion keine.
==> Zähler gleich 0 setzen für Nullstellen
==> Nenner gleich 0 setzen für Extremstellen ( … )

x - 1 = 0
==> x = 1

somit ist x = 1 eine Extremstelle und zwar befindet sich hier eine senkrechte Assymptote.

Die Rechenfehler wurde hier ja schon erläutert

IrenaSekuta_09b6f7 · 25. April 2006 um 14:33

Hallo,

==> Zähler gleich 0 setzen für Nullstellen
==> Nenner gleich 0 setzen für Extremstellen

Die letzte Schlussfolgerung ist m.E. nicht richtig.

Wenn der Nenner gleich Null gesetzt wird, dann wird lediglich ermittelt, ob die Funktion irgendwelche Polstellen aufweist. Bekanntlich (zumindest sollte es bekannt sein ), darf durch Null niemals dividiert werden.

Möchte ich die Extremstellen ausrechnen, dann muss ich die differenzierte Funktion gleich Null setzen.

Gruß,

Pierre

Alias1979_0df812 · 25. April 2006 um 17:25

Einen guten Nachmittag!

Erstmal DANKE für die vielen Berichtigungen die schon so schnell eingegangen sind!!

Alles klar, weiter gehts mit der 2. Ableitung:

x*e^x-2e^x
--------- = f’(x)
(x-1)²

Ich schreibe das f’(x) auf die andere seite, da es umgedreht in der vorschau wieder schrecklich aussieht, wie kann ich das eigentlich ändern?
Ausserdem habe ich

x*e^x-2e^x
--------- gewählt und nicht
(x-1)²

´´´´x - 2
e^x ------ weil ich nicht wüsste, wie ich das auf die quotienten-regel
´´´´(x-1)² wegen dem e^x davor anwenden könnte.

Hoffe das ist auch in ordnung. so nun aber wieder zum ableiten:
´´´´´´´u’*v-u*v’
f’(x)= --------
´´´´´´´´´´v²

u = x*e^x-2e^x
u’ = e^x-2e^x
v = (x-1)²
v’ = x²-1
v’ = 2x

nun wieder in die obige formel einsetzen:

´´´´´´´´´(e^x-2e^x)*(x²-1)-(x*e^x-2e^x)*(2x)
f’’(x) = --------------------------------------´´(ich kann hier 2mal
´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´(x-1)^4´´´´´´´´´´´´´´´´die binom. regeln ´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´anwenden.)

´´´´´´´´´ x²e^x-e^x-x²2e^x+2e^x -…
f’’(x) = --------------------------
´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´(x-1)^4

Das fett gedruckte ist das ergebnis des ersten binoms
> (e^x-2e^x)*(x²-1)

Alias1979_0df812 · 25. April 2006 um 17:45

Nochmal ich,

Auch die extremstellen zu bestimmen bereitet miir mit der 1. Ableitung probleme

´´´´´´´x*e^x-2e^x
f(x) = ----------- = 0 | xe^x-2e^x)
´´´´´´´´´(x-1)²

´´´´´´´´´´´´´1
f(x) = ----------- = 0 | *x²
´´´´´´´´´´´´x²-1

f(x) = -1 = x² | minus Wurzel ; plus wurzel

Problem: von einem negativen wert kann man doch garkeine wurzel ziehen…

gruß ryan

Puerstinger_Josef_6eca50 · 25. April 2006 um 19:51

Hallo Ryan,

Ich schreibe das f’(x) auf die andere seite, da es umgedreht
in der vorschau wieder schrecklich aussieht, wie kann ich das
eigentlich ändern?

Das Geheimnis sind die PRE-Tags. Klicke bei meinen Artikeln auf „Antworten“ und sieh Dir an, was bei den Gleichungen in den Zeilen ober- resp. unterhalb steht.

Ausserdem habe ich

> x\*e^x-2e^x  
> ----------  
> (x-1)²

gewählt und nicht

ist OK.

> x - 2  
> e^x ------  
> (x-1)²

weil ich nicht wüsste, wie ich das auf die
quotienten-regel wegen dem e^x davor anwenden könnte.

Du müsstest in diesem Fall die Produktregel anwenden und für den rechten Teil dann auch noch die Quotientenregel, also

(uv)' = u'v + uv'

u=e^x u'=e^x

 x - 2 1\*(x-1)²-(x-2)\*2\*(x-1) (x-1)-2\*(x-2) 3 - x
v=------ v'=---------------------- = ------------- = -------
 (x-1)² (x-1)^4 (x-1)^3 (x-1)^3

Hoffe das ist auch in ordnung. so nun aber wieder zum
ableiten:

> u'\*v-u\*v'  
> f'(x)= --------  
> v²  
>   
> u = x\*e^x-2e^x  
> u' = e^x-2e^x

Du musst auf x*e^x die Produktregel anwenden, also

u' = e^x+x\*e^x-2e^x = x\*e^x-e^x = e^x \* (x-1)



> v = (x-1)²  
> _v' = x²-1_

Richtiger wäre

v' = 2\*(x-1)

v’ = 2x

Wie kommst Du auf dieses Ergebnis? Ist das die Ableitung von x²-1? Falls ja, dann handelt es sich nicht um v’, sondern um v".

Der Rest der Rechnung ist leider aufgrund der falschen u’ und v’ hinfällig.

HTH,
Pürsti

Puerstinger_Josef_6eca50 · 25. April 2006 um 20:03

Nochmal ich,

Auch die extremstellen zu bestimmen bereitet miir mit der 1.
Ableitung probleme

> x\*e^x-2e^x  
> f(x) = ----------- = 0 | :frowning:xe^x-2e^x)  
> (x-1)²

Abgesehen davon, dass die obige Gleichung f’(x) und nicht f(x) ist, darfst Du nur durch (x*e^x-2e^x) dividieren, wenn
(a) (x*e^x-2e^x) nicht Null ist
(b) dadurch keine Lösung verloren geht

Leider kann (x*e^x-2e^x) Null werden und dadurch geht auch eine (d.h. die ) Lösung verloren.

x*e^x-2e^x

kann man auch als

e^x(x-2)

anschreiben, und wie man relativ leicht sieht, wird dieser Ausdruck für x=2 Null. Dies ist auch die gesucht Lösung.

Noch ein paar Anmerkungen zu Deinem Lösungsverlauf:

> 1  
> f(x) = ----------- = 0 | \*x²  
> x²-1

Nach der ersten Umformung (Division) ist die Gleichung nicht mehr f(x) (resp. f’(x)), daher ist das „f(x) =“ falsch.

> f(x) = -1 = x² | minus Wurzel ; plus wurzel

Wenn Du mit x^2 multiplizierst (wie oben angedeutet), erhältst Du

 1
x^2 ------- = x^2 \* 0
 x^2 - 1

 x^2
------- = 0
x^2 - 1

und nicht Dein angebenes -1=x^2

Alles Gute,
Pürsti

Alias1979_0df812 · 25. April 2006 um 21:12

Vielen dank für deine Hilfe!!

Ja, das mit dem

> > 1  
> > f(x) = ----------- = 0 | \*x²  
> > x²-1

war ein einflüchtigkeitsfehler, es war auch f’(x) gemeint

Ich habe jetzt die 2. Ableitung mit deinen verbesserung nochmal errechnet und bin auf dieses ergebnis gekommen. stimmt es?

> > x³e^x-4x³e^x-4xe^x+3e^x  
> > f''(x) = ------------------------  
> > (x-1)^4

gruß, ryan

Puerstinger_Josef_6eca50 · 26. April 2006 um 08:11

Hallo Ryan,

Ich habe jetzt die 2. Ableitung mit deinen verbesserung
nochmal errechnet und bin auf dieses ergebnis gekommen. stimmt
es?

x³e^x-4x³e^x-4xe^x+3e^x
f’’(x) = ------------------------
(x-1)^4

Ich gehe wohl recht in der Annahme, dass Du als f’ folgende Gleichung nahmst:

 x e^x - 2 e^x
f'(x) = -------------
 (x-1)^2

Dann gilt

u = x e^x - 2 e^x u' = e^x + x e^x - 2 e^x = e^x (x - 1)
v = (x-1)^2 v' = 2 (x-1)

und erhalten mit der Quotientenregel

 e^x (x-1) (x-1)^2 - (x e^x - 2 e^x) 2 (x-1)
f''(x) = -------------------------------------------
 (x-1)^4

Jetzt kürzen wir im Zähler und Nenner (x-1) weg und schreiben e^x vor den Bruch

 (x-1)^2 - (x - 2 ) 2
f''(x) = e^x --------------------
 (x-1)^3

Jetzt lösen wir im Zähler die Klammern auf

 x^2 - 2x + 1 - 2x + 4 x^2 - 4x + 5
f''(x) = e^x --------------------- = e^x ------------
 (x-1)^3 (x-1)^3

Wie Du auf Dein Ergebnis kommst, kann ich leider nicht nachvollziehen.

HTH,
Pürsti

Alias1979_0df812 · 26. April 2006 um 19:31

Hi Pürsti,

Ich glaube du hast im folgenden einen Fehler gemacht:

> > e^x (x-1) (x-1)^2 - (x e^x - 2 e^x) 2 (x-1)  
> > f''(x) = -------------------------------------------  
> > (x-1)^4

Das bekomme ich auch raus, habe nur nicht immer e^x ausgeklammert (bei u=…, u’=…, usw.)
Weiter schreibst du:

Jetzt kürzen wir im Zähler und Nenner (x-1) weg und schreiben
e^x vor den Bruch

> > (x-1)^2 - (x - 2 ) 2  
> > f''(x) = e^x --------------------  
> > (x-1)^3








> > e^x <u>(x-1)</u> **(x-1)^2** - (x e^x - 2 e^x) 2 <u>(x-1)</u>  
> > f''(x) = -------------------------------------------  
> > (x-1)^4

Zwar hast du das unterstrichene rausgekürzt, doch das dick gedruckte hast du vergessen, oder?

Es bleibt nämlich da erhalten (dick gedruckt):

> > (x-1) **^2** - (x - 2 ) 2  
> > f''(x) = e^x --------------------  
> > (x-1)^3

sollte nicht eher das rauskommen:

> > (x-1) - (x - 2 ) 2  
> > f''(x) = e^x --------------------  
> > (x-1)^3

jetzt löse ich die klammern auf:

> > -x + 3   
> > f''(x) = e^x --------  
> > (x-1)^3

was meinst du?

gruß, Ryan

Puerstinger_Josef_6eca50 · 27. April 2006 um 06:59

Hallo Ryan,

Ich glaube du hast im folgenden einen Fehler gemacht:

> e^x (x-1) (x-1)^2 - (x e^x - 2 e^x) 2 (x-1)  
> f''(x) = -------------------------------------------  
> (x-1)^4

…

Weiter schreibst du:

Jetzt kürzen wir im Zähler und Nenner (x-1) weg und schreiben
e^x vor den Bruch

> > > (x-1)^2 - (x - 2 ) 2  
> > > f''(x) = e^x --------------------  
> > > (x-1)^3

> > > e^x <u>(x-1)</u> **(x-1)^2** - (x e^x - 2 e^x) 2 <u>(x-1)</u>  
> > > f''(x) = -------------------------------------------  
> > > (x-1)^4

Zwar hast du das unterstrichene rausgekürzt, doch das
dick gedruckte hast du vergessen, oder?

Mit „Jetzt kürzen wir im Zähler und Nenner (x-1) weg…“ meinte ich, dass wir Zähler und Nenner durch (x-1) dividieren. Und bekanntlich gilt

(e^x (x-1) (x-1)^2 - (x e^x - 2 e^x) 2 (x-1)) : (x-1) =
 e^x (x-1)^2 - e^x (x-2) 2

RaL_343f15 · 27. April 2006 um 12:06

Huhu,
bei einem Produkt musst du nur einen Faktor dividieren / kürzen
a * a * a² * … / a
==> a * a² * …

bei einer Summe dagegen jeden einzelnen Summanden
a + a - a² + … / a
==> 1 + 1 - a + …

Alias1979_0df812 · 27. April 2006 um 16:26

Ach cool danke euch beiden

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Alias1979_0df812 · 27. April 2006 um 18:41

Ach noch was, gehe ich recht in der annahme, dass es keine wendepunkte gibt?

gruß, ryan

Puerstinger_Josef_6eca50 · 28. April 2006 um 10:58

Ach noch was, gehe ich recht in der annahme, dass es keine
wendepunkte gibt?

Ja, es gibt keine reellen Wendepunkte.

Mfg,
Pürsti