Hi Leute,
Ich könnte etwas Hilfe - oder besser einen Tipp - gebrauchen beim Bilden der Stammfunktion von x / (x² + 1)
Ich weiss dass die gesuchte Stammfunktion ln(x² + 1) entspricht (hab sie in nem Buch nachgeschlagen), nur hilft mir das nicht viel weil ich einen nachvollziehbaren Rechenweg brauche
Danke im Vorraus
Alamo
Hallo Alamo,
das ist eine Regel der Substitutionsmethode:
Ist der Interant ein Bruch, dessen Nenner eine Funktion f(x) und dessen Zähler f`(x) ist, so lautet die Lösung ln f(x) + C.
Warum???
z = f(x)
dz/dx = f´(x) somit dx = dz/f´(x)
einsetzen…
Int f´(x)/f(x)*dx = Int f´(x)/z * dz/f´(x) = ln z + C = ln f(x) + C
Alte Matheunterlagen hervorgekramt…
olli
INT cosx/sinx * dx = ??? Na??? klar ln sinx
z=sinx
dz/dx = cosx also dx = dz/cosx
int cosx/z * dz/cosx = ln z + C = ln sinx + C
Probe: ln sinx = 1*cosx/sinx
Man testet Stammfunktionen
lieber Alamo, indem man si rückableitet; und nun tu das mal mit ln(x^2 + 1)!!!
wirstu dein blaues Wunder erleben.
Aber ich lasse mich nicht zum Hausaufgaben-Vorrechnen provozieren!
Ich weiss dass die gesuchte Stammfunktion ln(x² + 1):
Entspricht? Eben, schon richtiger, sie isses nämlich nicht!
Die naheliegende Substitution scheint doch jedem die Ersatzung des komplziert scheinenden x^^2 + 1 zu sein. Also substituiere es! Also Int{(x/[x^2+1])*dx} = Int{(x/u)*dx]}, und nun aus: u´= du/dx, dx ausrechnen und einsetzen, da kürzt sich was!
Ciao, manni.
Stammfunktion von x / (x² + 1)
Ich weiss dass die gesuchte Stammfunktion ln(x² + 1)
entspricht (hab sie in nem Buch nachgeschlagen), nur hilft mir
das nicht viel weil ich einen nachvollziehbaren Rechenweg
brauche
Die Stammfunktion von f(x)=x/(x^2 +1) ist F(x)=1/2 *ln(x^2 +1) +c.
Durch Ableiten von g(x)=ln(h(x)) erhält man g’(x)=h’(x)/h(x) +c für eine differenzierbare Funktion h(x). (Logarithmusregel)
Wenn man also eine Funktion, deren Zähler die Ableitung des Nenners ist, vor sich hat, wendet man die obige Regel „rückwärts“ an.
Peace,
Kevin.
Hi,
Ich könnte etwas Hilfe - oder besser einen Tipp - gebrauchen
beim Bilden der Stammfunktion von x / (x² + 1)
Ist ja ein relativ einfaches Problem. Die Lösungen wurden ja schon angesprochen.
Eine allgemein gültige Rechenvorschrift, wie Du sie suchst, gibt es aber nicht. Es ist an sich ein Trial&Error Verfahren analytische Lösungen für ein Integral zu finden. War früher eine „beliebte“ Beschäftigung. Heute lässt man es lieber explizit nach Lösungen/Näherungen zu suchen. Und überträgt das ganze Problem dem Computer - die bekannten Stammfunktionen sind gespeichert, und beu unbekannten steht dann eben eines der unzähligen numerischen Verfahren zum „lösen“ bereit. Der ist relativ gut für solche Aufgaben geeignet.
Bei vielen Funktionen ist es eh überhaupt nicht möglich eine Lösung in geschlossener Form anzugeben (oder sagen wir lieber nicht bekannt).
ciao
ralf