Liebe/-r Experte/-in,
Liebe/-r Experte/-in,
hallo ich hätte da mal eine fraqge da gibt es eine aufgabe die ich nicht lösen kann also
eine haltervorrichtung für müllsäcke wird aus 2 kreisförmigen ringen und 2 gerade verbindungststäben aus stahlband zusammen geschweist so das die form eines geraden kreiszylenders angedeutet wird . insgesamt werden 4 m stahlband verwendet
die höhe h und der radius r sollen so optimiert werden das der angedeutete zylender maximales volumen hat.
für welche masße r udn h nimmt der zylinder maximales volumen an? wie groß ist das maximale volumen ?
eine haltervorrichtung für müllsäcke wird aus 2 kreisförmigen
ringen und 2 gerade verbindungststäben aus stahlband zusammen
geschweist so das die form eines geraden kreiszylenders
angedeutet wird . insgesamt werden 4 m stahlband verwendet
die höhe h und der radius r sollen so optimiert werden das der
angedeutete zylender maximales volumen hat.
für welche masße r udn h nimmt der zylinder maximales volumen
an? wie groß ist das maximale volumen ?
ausnahmsweise, aber eigentlich wäre
das was für die mathe.de board-seite, wo man solche fragen posten kann. hier bin ich eigentlich, wenn es um grundsätzliche frgaen geht als experte gelistet.
es lässt sich berechnen mit 2 mal umfang kreis und 2 mal höhe ergibt zusammen 4 m .
heißt alles erst mal durch 2 teilen, dann bleibt
U= 2 pi r hoch 2
mal höhe des zylinders übrig. es ist nur eine angabe vorhanden, daher musst du wissen, wann ein zylinder sein maximalstes volumen hat: wenn er der quaderform am nächsten kommt, heißt umfang ist gleich höhe.
und nu rechnen mal schön.
Hallo esra,
ich weis nicht in wie weit dir die Differential Rechnung vertraut ist.
Ich persönliche würde dies so lösen.
Das Volumen eines Kreiszylinder bekommst du wie folgt:
V=F*h
Also Fläche mal Höhe.
Das heisst wir benötigen die Kreisfläche und die Höhe.
Du hast 4m Stahlband und ich denke die musst du für den Kreis und der Höhe
verwenden.
Also haben wir 4Meter für den Umfang der beiden Kreise und für die Höhe des
Zylinders.
Da wir zum berechnen aber nur einen Kreisumfang brauchen und wuasi nur eine
höhe, können wir folgendes sagen:
Eine Höhe und ein Kreisumfang dürfen nur 2m sein, da ja beide (Höhen und
Kreisumfang) nur 4m sein dürfen.
Die Fläche eines Kreises mit Hilfe des Umfangs berechnest du so:
F = U^2 / 4Pi (Sorry aber auf Mac kann ich keine Hochzahlen machen)
Wir erinnern uns:
Das Volumen ist: V=F*h und F = U^2 / 4Pi
Also: V=U^2 / 4Pi * h (F eingesetzt)
Nehmen wir mal an U = x und h = y (Nur um eine anschauliche Gleichung zu
bekommen)
Also:
V= x^2 / 4Pi * y
Das bringt uns leider noch nicht soviel, da das Volumen nun von 2 Variablen (x
und y) abhängt.
Aber ^^ wir haben ja diese tolle Bedingung das dass Stahlband nicht länger als 4
Meter sein darf, bzw. Ein Kreis und eine Höher nicht mehr wie zwei.
Also x + y = 2 => y = 2 - x und dies setzen wir oben ein.
V=x^2 / 4Pi * (2 - x)
=> V = -x^3 + 2x^2 / 4Pi
Nun haben wir unsere Volumen Gleichung abhängig von x.
Und um das Maxima zu bekommen, musst du diese Funktion nur Ableiten und die
Ableitung gleich Null setzen um die Extrema zu ermitteln (Das erspar ich mir jetzt
mal)
Dann bekommst du 2 Werte raus.
Einmal für x=0 (Für das Minimum des Volumens 
)
Und einmal x=1,33 (Für das Maximum des Volumens)
Hoffe ich konnte dir weiterhelfen, bei zusätzlichen Fragen einfach melden.
Und scheu dich nicht mich zu bewerten.
lg
Ulli
Zielfunktion: V=pi*r^2*h (immer das, was max. oder min. werden soll)
Nebenbed.: 2*2*pi*r+2*h=400 (2*Kreisumfang + die 2 Stäbe)
2*h=400-4*pi*r
h=200-2*pi*r (nach einer Variablen auflösen und anschließend in die Zielfunktion einsetzen)
V=pi*r^2*(200-2*pi*r)=200*pi*r^2-2*pi^2*r^3
V´=400*pi*r-6*pi^2*r^2 (nach r ableiten)
400*pi*r-6*pi^2*r^2=0 (Ableitung=0) 
-6*pi^2)
r^2-200:frowning:3*pi)*r=0 (r ausklammern)
r*(r-200:frowning:3*pi))=0
also r=0 v r=200:frowning:3*pi) mit TR ausrechnen und den Wert oben in h=200-2*pi*r einsetzen, um h zu berechnen.
Und? Alles klar?
hallo Esra,
ich gehe davon aus, dass Du entweder in der 12. oder 13. Klasse bist, da es sich bei deiner Aufgabe, um eine Analysisaufgabe mit Extremwertproblem handelt.
Zur Aufgabe: Umfang Zylinder: U=4πr + 2h --> 4=4πr+2h
h= -2πr + 2 --> in die nächste Folmel einsetzen:
Volumen Zylin. : V=h*r*π V®=r*π(-2πr+2)
Ableitung bilden: V´®= -4π²r + 2π
V`®=0 —> r= 1/2π V``®=-4π² ist gößer Null, also haben wir an dieser Stelle einen Hochpunkt
daraus folgt: h= 2-2π*1/2π h= 1
Das Volumen des Zylinders beträgt: V=π*1/2π*1 =1/2
Solltest Du noch Fragen dazu haben, schreib mich kurz an.
Sedat D.
hey hey,
vielleicht hilft dir ja sofatutor.com in Mathe weiter.
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