Mathe Matritzen

[vogue_0806]

Hey meine Lieben ich habe da mal eine kleine Frage an euch
ES geht um die Berechnung von eigenvektoren.
Also in der Aufgabe sollte ich di charakteristische gleichung, eigenwerte und eigenvektoren berechnen. Die ersten zwei sachen habe ich ja auch hinbekommen. Bei den eigenvektoren habe ich nun eine kleine Frage: die ausgangsmatrix lautet 1 0 24
-8 -14 -19
8 15 20
Ich habe als eigenwerte (1,-11, 17) raus und soll nun die eigenvektoren berechnen. also wenn ich dann mit der 1 anfange habe ich doch die 0 0 24=0
-8 -15 -19 =0
8 15 19=0

Also das kann ich doch nun mit gauß lösen richtig ?
Meine Frage wäre nun nur noch, wenn ich die zeilen addiere und so weiter um auf die 3 werte am ende zu kommen verschwinden bei mir aber immer die zahlen also sie werden ständig null und mein lehrer hat aber hier z.b. -15/8, 1, 0 ich komme aber irgendwie nicht auf die werte kann mir einer von euch helfen und mir sagen was ich dabei falsch mache ? das wäre wirklich super lieb

LG

[Martin]

Hallo,

( 0 0 24 ) (x1) = (0)
(-8 -15 -19 ) (x2) = (0)
( 8 15 19 ) (x3) = (0)

Also das kann ich doch nun mit gauß lösen richtig ?
Meine Frage wäre nun nur noch, wenn ich die zeilen addiere und
so weiter um auf die 3 werte am ende zu kommen verschwinden
bei mir aber immer die zahlen also sie werden ständig null

kein Wunder, die zweite und dritte Zeile sind ja linear abhängig voneinander, wie man direkt sieht (Faktor –1). Da kannst Du von vornherein einen Haufen Nullen erwarten.

Das Element a_{1, 1} ist Null. Deshalb musst Du schon vor dem ersten Eliminationsschritt die Zeilen erstmal so vertauschen, dass das neue Element an dieser Position von Null verschieden ist. Das schreibt der Gauß-Algorithmus in einem solchen Fall so vor.

Unter den vier möglichen Zeilenpermutationen entscheide ich mich für:

( 8 15 19 ) (x1) = (0)
( 0 0 24 ) (x2) = (0)
(-8 -15 -19 ) (x3) = (0)

Da die zweite Zeile auch schon klar ist, bist Du mit nur einem Eliminationsschritt „dritte Zeile plus erste Zeile ergibt neue dritte Zeile“ am Ziel:

( 8 15 19 ) (x1) = (0)
( 0 0 24 ) (x2) = (0)
( 0 0 0 ) (x3) = (0)

Fertig ist die Dreieckgestalt. Nun betrachtest Du das Ding von unten nach oben. Die dritte Zeile enthält keine Information. Aus der zweiten folgt x₃ = 0. Bleibt die erste Zeile übrig:

8 x₁ + 15 x₂ = 0

Das ist eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten. Du solltest wissen, was das bedeutet: Eine der Variablen darfst Du frei wählen, und dadurch ist die andere dann festgelegt, genauer: Sie wird zu einer linearen Funktion der frei gewählten Variable. Bei allgemeiner n linearen Gleichungen mit m Unbekannten (m > n) darfst Du genau m – n Unbekannte frei wählen, wodurch sie sozusagen zu „Bekannte“ werden.

Ich wähle z. B. x₁ = α. Dann kann ich die letzte Gleichung nach x₂ auflösen, mit dem Ergebnis x₂ = –8/15 α. Damit weiß ich alles, um die Lösungsmenge des LGS hinschreiben zu können:

L = {(α, –8/15 α, 0) mit α beliebig}

Sie besteht hier also aus unendlich vielen Vektoren. Das wird übrigens bei jeder Berechnung von Eigenvektoren so sein.

Gruß
Martin

[Che_Netzer]

Ich habe als eigenwerte (1,-11, 17) raus und soll nun die
eigenvektoren berechnen. also wenn ich dann mit der 1 anfange
habe ich doch die 0 0 24=0
-8 -15 -19 =0
8 15 19=0

Also das kann ich doch nun mit gauß lösen richtig ?
Meine Frage wäre nun nur noch, wenn ich die zeilen addiere und
so weiter um auf die 3 werte am ende zu kommen verschwinden
bei mir aber immer die zahlen also sie werden ständig null und
mein lehrer hat aber hier z.b. -15/8, 1, 0 ich komme aber
irgendwie nicht auf die werte kann mir einer von euch helfen
und mir sagen was ich dabei falsch mache ?

Was machst du denn überhaupt?
Aus der ersten Zeile sieht man schon, dass die dritte Komponente 0 ist.
Dann bleibt nur noch 8*v1 + 15*v2 = 0, damit erhält man die Lösung, die du nanntest.

mfg,
Ché Netzer