Hallo,
( 0 0 24 ) (x1) = (0)
(-8 -15 -19 ) (x2) = (0)
( 8 15 19 ) (x3) = (0)
Also das kann ich doch nun mit gauß lösen richtig ?
Meine Frage wäre nun nur noch, wenn ich die zeilen addiere und
so weiter um auf die 3 werte am ende zu kommen verschwinden
bei mir aber immer die zahlen also sie werden ständig null
kein Wunder, die zweite und dritte Zeile sind ja linear abhängig voneinander, wie man direkt sieht (Faktor –1). Da kannst Du von vornherein einen Haufen Nullen erwarten.
Das Element a1, 1 ist Null. Deshalb musst Du schon vor dem ersten Eliminationsschritt die Zeilen erstmal so vertauschen, dass das neue Element an dieser Position von Null verschieden ist. Das schreibt der Gauß-Algorithmus in einem solchen Fall so vor.
Unter den vier möglichen Zeilenpermutationen entscheide ich mich für:
( 8 15 19 ) (x1) = (0)
( 0 0 24 ) (x2) = (0)
(-8 -15 -19 ) (x3) = (0)
Da die zweite Zeile auch schon klar ist, bist Du mit nur einem Eliminationsschritt „dritte Zeile plus erste Zeile ergibt neue dritte Zeile“ am Ziel:
( 8 15 19 ) (x1) = (0)
( 0 0 24 ) (x2) = (0)
( 0 0 0 ) (x3) = (0)
Fertig ist die Dreieckgestalt. Nun betrachtest Du das Ding von unten nach oben. Die dritte Zeile enthält keine Information. Aus der zweiten folgt x3 = 0. Bleibt die erste Zeile übrig:
8 x1 + 15 x2 = 0
Das ist eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten. Du solltest wissen, was das bedeutet: Eine der Variablen darfst Du frei wählen, und dadurch ist die andere dann festgelegt, genauer: Sie wird zu einer linearen Funktion der frei gewählten Variable. Bei allgemeiner n linearen Gleichungen mit m Unbekannten (m > n) darfst Du genau m – n Unbekannte frei wählen, wodurch sie sozusagen zu „Bekannte“ werden.
Ich wähle z. B. x1 = α. Dann kann ich die letzte Gleichung nach x2 auflösen, mit dem Ergebnis x2 = –8/15 α. Damit weiß ich alles, um die Lösungsmenge des LGS hinschreiben zu können:
L = {(α, –8/15 α, 0) mit α beliebig}
Sie besteht hier also aus unendlich vielen Vektoren. Das wird übrigens bei jeder Berechnung von Eigenvektoren so sein.
Gruß
Martin
