Mathe: Matrizen, Koordinatentransformation

Wissenschaft Physik
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Zunächst zum Verstehen meiner Gedankengänge die grundlagen auf der die Frage aufbauen (sonst halt weiter nach unten springen):

Es gibt einen Satz, der besagt, daß ich jede Matrix A bei geschickter Wahl der Basen auf die Form B gebracht werden kann, die wie folgt aussieht:

(E 0)
(0 0)

wobei E die r x r - Einheitsmatrix ist, wenn die Dimension vom Bild r ist.

Betrachten wir nun mal nur quadratische Matrizen.
Jetzt müßten ja invertierbare Transformationsmatrizen S und S’ (S’ als inverses von S) existieren, so daß

B = S A S’ bzw. A = S’ B S

Wenn man also die n-fache Anwendung von A ausrechnen will (A^n), dann
ist das

A^n = A A A … A = S’ B S S’ B S … = S’ B^n S

denn S S’ müßte ja die Einheitsmatrix ergeben.
Oder stimmt das nicht immer? Ich habe das jetzt nicht gefunden, aber meine mich zu erinnern, daß die Standardaufgabe „Rechnen sie A^1000 aus“ so gelöst werden muß, daß man irgendwie Eigenwerte sucht, so eine diagonale Matrix erhält und eben diese Formel bennutzt.

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Nun die Frage: #
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Wenn A Nilpotent ist oder invertierbar (Rang n bei einer n x n - Matrix) , dann müßte A im nilpotenten Fall entweder die Nullmatrix sein oder zumindest einen diagonaleintrag haben. Die Nullmatrix kann es eigentlich nicht sein (der Rang vn A ist nicht null).
Aber wenn A nilpotent, dann müßte nach obiger Formel:

A^k = S’ B^k S 0 ,denn B^k wird ja niemals null werden können. Demnach wäre A nicht nilpotent.

Gleiches Problem bei der invertierbaren Matrix.
Der Rang muß n sein, also muß die Matrix B in den transformiert Koordinaten die Einheitsmatrix sein.
Demnach wäre für jede invertierbare Matrix A

A^n = S’ E^n S = A

Und das stimmt ja nun auch nicht.

Wo ist jetzt der Fehler gemacht worden?

Danke,
Malte!

2

Hallo Malte!

Mal sehen, ob ich das alles richtig verstehe!

Zunächst zum Verstehen meiner Gedankengänge die grundlagen auf
der die Frage aufbauen (sonst halt weiter nach unten
springen):

Es gibt einen Satz, der besagt, daß ich jede Matrix A bei
geschickter Wahl der Basen auf die Form B gebracht werden
kann, die wie folgt aussieht:

(E 0)
(0 0)

wobei E die r x r - Einheitsmatrix ist, wenn die Dimension vom
Bild r ist.

Naja. Das ist IMHO so nicht korrekt. Es gibt einmal die
Hauptachentransformation, mit der du jede quadratische Matrix
(bleiben wir mal bei denen) auf die Form diag(-1,…,-1,1,…,1,0,…,0)
bringen kannst. Der Satz dazu ist der Sylvestersche Trägheitssatz.
Für jeden Eigenwert >0 steht dabei eine 1, für jeden 0 ,denn B^k wird ja niemals null

werden können. Demnach wäre A nicht nilpotent.

Daher oben die Voraussetzung im Sylvesterschen Trägheitssatz, daß die
Matrix diagonalisierbar sein muß. Das ist bei nilpotenten Matrizen,
die nicht die Nullmatrix sind, nämlich nicht so.

Was heißt „nilpotent“? Das heißt, daß für eine Matrix M irgendeine
Potenz M^n die Nullmatrix ergibt. Damit muß M aber nicht selber schon
die Nullmatrix sein, denn wenn M = (0 1 // 0 0), dann ist M^2 = 0,
aber M offenbar != 0.

Gleiches Problem bei der invertierbaren Matrix.
Der Rang muß n sein, also muß die Matrix B in den
transformiert Koordinaten die Einheitsmatrix sein.

Nein. Das ist die Matrix der rechten bzw. linken
(verallgemeinerten) Eigenvektoren. Die kann, muß aber nicht die
Einheitsmatrix sein.

Demnach wäre für jede invertierbare Matrix A

A^n = S’ E^n S = A

Und das stimmt ja nun auch nicht.

Wo ist jetzt der Fehler gemacht worden?

Ich würde sagen, Verwechslung von Jordan-Normalform und
Sylvesterschem Trägheitssatz.

Hoffe, das hilft,

Chris

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Hallo Christian!

Mal sehen, ob ich das alles richtig verstehe!

Danke, auf jeden Fall für die Antwort.

(E 0)
(0 0)

wobei E die r x r - Einheitsmatrix ist, wenn die Dimension vom
Bild r ist.

Naja. Das ist IMHO so nicht korrekt. Es gibt einmal die
Hauptachentransformation, mit der du jede quadratische Matrix

Jetzt zitiere ich besser:

Fischer, Seite 140:
Sei F: V-> W linear, n=dim V, m= dim W und r= dim Im F
Dann gibt es Basen A von V und B von W, so daß,

M (F) = ( E_r 0 )
( 0 0 )

Dabei bezeichnet E_r, die […]r-reihige Einheitsmatrix.

Und ich bezog mich ja immer darauf, daß ich diese sehr günstige Form benutze. Weshalb, sofern das jetzt richtig von mir verstanden wurde, es nett wäre, wenn Du nochmal darauf eingehen könntest.

Wenn du wirklich einen Basiswechsel meinst, dann ist das so
auch
nicht richtig. Da bekommst du nämlich die Jordansche
Normalform

Die Jordan-Form ist doch, so wie ich das verstehe mehr gut, weil sie nett zu berechnen ist, oder? Es ist anscheinend (s.o.) nicht die einfachst denkbare Form, in die ich eine lin. Abb. bringen kann.

Betrachten wir nun mal nur quadratische Matrizen.
Jetzt müßten ja invertierbare Transformationsmatrizen S und S’
(S’ als inverses von S) existieren, so daß

B = S A S’ bzw. A = S’ B S

Ok. Wenn du orthogonale Matrizen S meinst, ist das so ok.

Warum sollten die orthogonal sein müssen? Also das hier ist eigentlich auch noch mehr aus dem Fischer (S. 159). Und orthogonale Matrizen werden erst später eingeführt. Einzige Bedinung scheint zu sein, daß A ein Endomorphismus ist und dann gibt es schon solche (invertierbaren) Matrizen.

Dafür sind
übrigens Hauptachsentransformation und Basiswechsel identisch.

Bei HAT weiß ich ehrlich gesagt gar nicht so recht, was das ist. Ich hoffe man braucht den auch nicht wirklich, um das Problem hier zu klären.

A^n = A A A … A = S’ B S S’ B S … = S’ B^n S

denn S S’ müßte ja die Einheitsmatrix ergeben.

Ja, für orthogonale Matrizen S gilt das.

Gut, ich meine invertierbar reicht. Wäre toll, wenn Du klären könntest, könnte ja vielleicht wichtig sein, wann das dann nicht so gilt.

Ich laß das mal stehen als Erinnerung, was der eigentliche Punkt war.

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Nun die Frage: #
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Wenn A Nilpotent ist oder invertierbar (Rang n bei einer n x n

[…]

Potenz M^n die Nullmatrix ergibt. Damit muß M aber nicht
selber schon
die Nullmatrix sein, denn wenn M = (0 1 // 0 0), dann ist M^2
= 0,
aber M offenbar != 0.

Nein, aber meine gewünschte Form (von gaaanz oben) wird NIE die Nullmatrix werden.

Gleiches Problem bei der invertierbaren Matrix.

[…]

Bye,
malte!