Mathe Olympiade 2000/2001

Wissenschaft Mathematik
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Hey,

ich hab hier ein kleines Problem mit einer Aufgabe aus der Mathe olympiade von 00/01.
Wie haben die Aufgabe als Hausaufgabe aufbekommen und knobel schon das ganze Wochenende und hab außer nem Haufen Zeichnungen keinen Ansatz gefunden. Kann mir da jemand helfen?

Familie Schiefeck mag keine Rechtecke. Deshalb soll der neue Sitzplatz im Garten ‚trapezförmig‘ angelegt werden (s. Abbildung).

Dazu sollen quadratische Platten gleicher Größe in zwei Farben verwendet werden. Die dunklen Platten sollen einen äußeren Rand bilden. Im Baumarkt gibt es noch genau 50 dunkle Platten, die Familie Schiefeck alle kauft. Helle Platten sind genügend viele vorrätig.

Wie viele helle Platten müssen gekauft werden, wenn die Fläche des Sitzplatzes möglichst groß werden soll?

Bild http://www.mathe-wettbewerbe-nrw.de/aufgaben/40runde…

Wir haben aber nur die mittlere Zeichnung auf unserem Arbeitsblatt.

Vielen Dank schonmal im vorraus :wink:

2

hi,
hausaufgaben lösen wird hier nicht gern gesehen. deswegen nur ein paar hinweise.

wie lang ist der umfang so eines „trapezes“, wenn auf der grundlinie n schwarze platten liegen?
denk dir dazu die platten am linken und rechten rand an die obere grenzlinie verschoben, dann fehlen dort 2 endplatten. also:
U = 2n - 2

wenn du alle 50 randplatten verwenden willst, kannst du damit folgende trapeze bilden:
26 + 24 = 50 … das trapez hat die „höhe“ 2 und besteht nur aus schwarzen platten:
26 + 24 + 22 … das trapez hat die „höhe“ 3 und besteht aus 50 schwarzen und 22 (24 - 2) weißen platten, hat also die fläche 72.

und jetzt schiebst du die äußere grenze maximal nach vorne; dann bleiben dort 2 schwarze platten übrig.

du brauchst damit für die maximale fläche die summe
26 + 24 + 22 + … + 2 = …

das lässt sich als das doppelte von
13 + 12 + 11 + … + 1 leicht berechnen. (endliche arithmetische reihe, „der kleine gauß“)

die anzahl der benötigten weißen platten ist
22 + 20 + 18 + … + 2 = 2 * (11 + 10 + 9 + … + 1)

unter den gegebenen randbedingungen (gleichschenkliges „trapez“ etc.) ist keine größere fläche beim gegebenen umfang 50 denkbar.

hth
m.

Familie Schiefeck mag keine Rechtecke. Deshalb soll der neue
Sitzplatz im Garten ‚trapezförmig‘ angelegt werden (s.
Abbildung).

Dazu sollen quadratische Platten gleicher Größe in zwei Farben
verwendet werden. Die dunklen Platten sollen einen äußeren
Rand bilden. Im Baumarkt gibt es noch genau 50 dunkle Platten,
die Familie Schiefeck alle kauft. Helle Platten sind genügend
viele vorrätig.

Wie viele helle Platten müssen gekauft werden, wenn die Fläche
des Sitzplatzes möglichst groß werden soll?

Bild
http://www.mathe-wettbewerbe-nrw.de/aufgaben/40runde…

Wir haben aber nur die mittlere Zeichnung auf unserem
Arbeitsblatt.

Vielen Dank schonmal im vorraus :wink: