Mathe quadratische Funktionen anhand von 3

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo erstmal,
ich habe ein problem in mathe.
bin in jahrgang 12.
wir sollen anhand 3 informationen die quadratische funktion herausfinden.
hier ist die aufgabe:
gesucht ist eine ganzrationale funktion zweiten grades die die y-achse bei y=2,5 und den hochpunk Hp(3/2) besitzt.

Gesucht ist : f(x)=ax^2+bx+c
Gegeben ist : c= 2.5
f(3)=a3²+b3+c=9a+3b+2,5=2
f´(3)=2a3+b=6a+b=0

Normalerweise müsste ich differenzieren, dann müsste entweder x*a oder y*b übrig bleiben.Aber da stimmt doch etwas nicht oder ?
Ich hoffe das mir jemand hierbei helfen kann

Gruß
Ramazan

#2

Hallo,

Du bist mit deiner Rechnung schon fast fertig.
wenn: 2=9a+3b+2,5 ist und 0=6a+b hast du 2gleichungen und 2 unbekannte… also

die zweite nach b umgestellt: b=-6a und in die erste eingesetzt, dann kommst du nach umstellen auf
-0,5=9a-18a
also a=1/18, das dann in die gleichung b=-6a einsetzten und b=-1/3

f(x)=1/18x²-1/3x+2,5

hoffe ich konnte helfen :smile:

Gruß

#3

Gesucht ist : f(x)=ax^2+bx+c
Gegeben ist : c= 2.5
f(3)=a3²+b3+c=9a+3b+2,5=2
f´(3)=2a3+b=6a+b=0

I: 9a+3b+2,5=2 -> 9a+3b = -0,5
II: 6a+b=0 -> -b = 6a

einsetzen:
9a+3*(-6a) = -0,5
-9a = -0,5 -> a = 1/18
-> b= - 1/3

----> f(x) = (1/18)x²-(1/3)x+2.5
(ohne gewähr - bin müde ^^)

#4

Hallo,

zunächst mal ist (3/2) kein Hoch- sondern ein Tiefpunkt, denn bei einem HP ist f’’ 2 durch die y-Achse, sie nähert sich also von oben dem Extrempunkt (=> TP).

Zur Lösung muss man einfach ein Gleichungssystem mit den beiden gegebenen Gleichungen und den beiden Unbekannten a und b lösen:

(1) 9a + 3b + 2,5 = 2
(2) 6a + b = 0

Das geht auf mehrere Arten:

aus (2) folgt: b = -6a, das wird in (1) eingesetzt:
9a - 18a + 2,5 = 2
-9a = -0,5
a = 0,5/9 = 1/18. Dies wird in eine der beiden Gleichungen, z. B. (2), eingesetzt, um b zu erhalten:
6 (1/18) + b = 0
6/18 = -b
b = -1/3

oder:
aus (1) folgt: 9a + 3b + 0,5 = 0
(2) 6a + b = 0
also: 9a + 3b + 0,5 = 6a + b | -6a -b
3a + 2b + 0,5 = 0
3a = -2b - 0,5 | :3
2b = -3a - 0,5
b = -3/2a - 0,25, eingesetzt in (2):
6a -3/2a - 0,25 = 0
4,5a = 0,25 | :4,5
a = 1/18, entsprechend wird b wie oben ermittelt.

Diese beiden Werte a und b werden nun in die Gleichung eingesetzt und man erhält die Funktionsgleichung

f(x) = 1/18 x^2 - 1/3 x + 2,5.

Die Probe ergibt für x = 3 den Wert 2 bei f(x) sowie den Wert 0 (waagrechte Tangente) bei f’(x)

Gruß
Martin

Denk-, Schreib- und Leichtsinnsfehler vorbehalten… :smile:

#5

Korrektur:

Zweiter Lösungsweg für das LGS:
5. Zeile nach dem „oder:“
der Bearbeitungsschritt | :3 muss durch | -3a + 2b ersetzt (oder die folgenden Operationen der Division durch 3 angepasst) werden! Danke!

Martin

#6

Hallo Ramazan,

Du hast in der Aufstellung der Aufgabe alles richtig gemacht. nun hast du zwei Gleichungen, mit denen du entweder das Additionsverfahren anwenden kannst oder das Einsetzungsverfahren, welches meiner Meinung nach schneller funktioniert:

I) f(3) = 9a+3b+2,5 = 2
II) f’(3) = 6a+b = 0

ich würde die Gleichung II) nach b umstellen:
IIa) b = -6a

Nun kannst du Gleichung IIa) in I) einsetzen:
9a+3*(-6a)+2,5 = 2
9a-18a+2,5 =2
-9a = -0,5
a= 1/18

nun kannst du a in Gleichung IIa) einsetzen:
b = -6*(1/18) = -1/3

Deine Funktion lautet nun:
f(x)= 1/18 x^2 - 1/3 x +2,5

Gruß error

#7

Danke

für eure hilfe. Ich hab jetzt auch verstanden warum ich durcheinander war.
ich habe aber noch eine frage zu algo rithmus.
wenn ich 4 funktionen habe z.b.
f(2)= 8a+4b+2c+d = 0
f(1)= a+b+c+d = -2
f´(1)= 3a+2b+c =0
f´´(1)= 6a+2b =0
(Diese Funktionen habe ich von einem Grafen 3.Grades mir einer nullstelle bei (2/0) und mit einem sattelpunkt (1/-2) )
Ich wollte nur fragen ob ich F(2) mit f(1) subrahieren kann, damit ich mir den rechenweg vereinfacehn kann.Ich freue mich auch über andere Tipps und tricks.

PS: ich habe den aktuellen Casio taschenrechner, mit denen ich algorithmus auf die schnelle berechnen kann.Das einzige problem ist, die Funktion darf nicht mehr als 3 unbekannte haben.

Vielen dank in vorraus

Gruß
Ramazan

#8

Hallo Ramazan,
wenn (3/2) der Hochpunkt (also nach unten geöffnet) einer Quadratischen Funktion sein soll, kann die y-Achse nicht bei 2,5 also in (0/2,5) geschnitten werden, weil das „höher“ als der Hochpunkt ist.
Da stimmt tatsächlich etwas nicht!

Gruß

Lynn

#9

Hallo,
verstehe das Problem nicht so ganz…
Du hast ein ganz normales lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten a und b:
9a+3b = -0,5
6a+b=0

Das musst du nur noch mit einem Verfahren deiner Wahl lösen, um a und b zu erhalten.
Das mit dem x*a und y*b verstehe ich nicht, was du damit meinst.

MfG,
Nadine

#10

Hallo Ramazan,

f(2)= 8a+4b+2c+d = 0
f(1)= a+b+c+d = -2
f´(1)= 3a+2b+c =0
f´´(1)= 6a+2b =0
(Diese Funktionen habe ich von einem Grafen 3.Grades mir einer
nullstelle bei (2/0) und mit einem sattelpunkt (1/-2) )
Ich wollte nur fragen ob ich F(2) mit f(1) subrahieren kann,
damit ich mir den rechenweg vereinfacehn kann.

Du kannst auch subtrahieren, die Subtraktion ist nicht anderes, als wenn du die eine Gleichung mit (-1) multiplizieren würdest und dann addieren würdest.

PS: ich habe den aktuellen Casio taschenrechner, mit denen ich
algorithmus auf die schnelle berechnen kann.Das einzige
problem ist, die Funktion darf nicht mehr als 3 unbekannte haben.

Ich kenne mich leider nicht mit diesem Taschenrechner aus, sodass ich dir da Tipps geben könnte.

Gruß error

#11

Sorry, habe derzeit keine Zeit… Falls später noch eine Antwort erforderlich ist bitte noch einmal melden…

#12

Also, das was du geschrieben hast, ist schon mal richtig. Du musst nur bei f´(3) b berechnen. Da kommt raus b=-6a. Das setzt du dann in f(3) ein und erhälst für a= 1/18, also ist dann b=-1/3 und c hast du ja schon. Also lautet die Funktion f(x)=1/18x^2-1/3x+2,5.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!

#13

hi ramazan
du bist doch mit der lösung schon fertig:
aus 9a + 3b = -0,5
und 6a + b = 0
hast du doch „ruckzuck“ a = 1/18 und b = -1/3.
( die 2. gleichung mal 3 nehmen - 18a + 3b = 0 - und dann von der ersten gleichung abziehen)

so long

ralf