Mathe Steckbriefaufgabe / Rekonstruktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich wollte mal ein paar Sachen zum genannten Thema Fragen, genauer gesagt habe ich dieses Thema schon mal durchgenommen, nur das dabei noch ein paar Fragen existieren bzw. weil es schon eine Weile her ist und ich nicht mehr so genau weiß wie das abläuft. Dazu möchte ich sagen das ich zuerst mal erkläre was ich noch weiß damit ihr auf meinem Wissen aufbauen könnt. Und zusätzlich möchte ich noch sagen das sich nicht um die Klassischen Steckbriefaufgaben handelt, sondern ich will mir eine eigene Funktion basteln in dem so ziemlich alle besonderen Punkte eine Gute Position haben (x & y = Ganzzahlig bei allen Punkten).

Also zu erst gibt es die Basis-Funktion: bei meinem Beispiel wäre es eine Grad 5 also:
g(x) = a * x^5 + b * x^4 + c * x^3 + d * x^2 + e * x + f = y
Dazu die 1. und 2. Ableitung
g’(x) = 5a * x^4 + 4b * x^3 + 3c * x^2 + 2d * x + e = y
g’’(x) = 20a * x^3 + 12b * x^2 + 6c * x + 2d = y

Im Grund kann man eine Funktion erstellen mit allen Nullstellen und einem Weiteren Eigenschaft wie bspw. der y-Schnittstelle.

Außerdem kann man bei Hoch- Tief- und Sattelpunkten die 1. Ableitung = 0 setzen und bei Wende- und Sattelpunkten die 2. Ableitung = 0. Wenn man die Punkte selbst kennt kann man die auch verwenden wie bei den Nullstellen (in der Basis Funktion = 0 bei den Nullstellen).

Um die „Ergebnis“-Funktion zu bekommen müssen die Punkte in die Funktion gesetzt werden und dann zusammen geführt werden, wodurch sich die Faktoren a-f nach und nach raus kürzen und man am Ende „Rückwärts“, durch einsetzen, die anderen Faktoren errechnen kann.

Meine Frage dazu ist jetzt, wie ich bei meiner Funktion 5. Grades eine Funktion erstelle mit 2 HP, 2 TP, 1 SP, 4 WP, 5 Nullstellen und der Y-Schnittstelle, d.h ich kenne so ziemlich alle besonderen Punkte die vorhanden sind. Also es sollen alle Punkte berücksichtigt werden. Da ich ja alle Punkte Vorgebe bzw. Kenne müsste ich für meine Funktion also alle Eigenschaften einfügen, also sowohl die 1. Ableitung beim TP, HP, SP also auch die Punkte selbst? Das gleiche auch bei der 2. Ableitung WP, SP?

Nur mit den Nullstellen und der Y-Schnittstelle ist es ja bereits möglich die Funktion zu errechnen aber wie sieht das aus wenn man „zu viele“ bzw. alle Informationen kennt. Wie vereint man dann das ganze? Die müssen ja alle mindestens einmal „hinzugefügt“ werden, oder? Zumindest wenn ich alle Punkte mit in der Funktion haben will. Und als letztes noch, kann man zwischen 2 Extremstellen einfach so einen Wendepunkt festlegen oder geht das nicht.

Wäre schön wenn mir jemand diese Fragen beantworten könnte, wenn möglich gleich auf alle meine Fragen, vielen lieben Dank im Vorraus.

Gruß Felix

#2

Hi!

Grob gesagt hat dein Polynom sechs Parameter, und dann brauchst du sechs Bedingungen, um diese eindeutig berechnen zu können.
Hast du mehr Bedingungen, dann kannst / musst du prüfen, ob dein Polynom diese auch erfüllt. Für einfach so ausgedachte Bedingungen wird das aber eigentlich nie passieren.

Auch hier wieder: Die beiden Extremstellen (lass es Minimum und Maximum sein) ergeben bereits vier Bedingungen (die beiden Koordinaten, sowie f’=0 an diesen). Ein Wendepunkt besteht aus weiteren zwei Bedingungen (Koordinate und f’’=0), macht zusammen sechs. Das reicht, um ein Polynom 5. Grades eindeutig zu bestimmen, aber mehr Bedingungen solltest du nicht stellen (oder eben diese prüfen)

Nochwas: Es kann natürlich auch sein, dass du 6 Parameter und 6 Bedingungen hast, und keine eindeutige Lösung findest - entweder weil es gar keine Lösung gibt, oder weil es unendlich viele gibt. Du brauchst halt 6 Bedingungen, damit überhaupt die Möglichkeit für eine eindeutige Lösing existiert.

#3

Also geht es nicht alle Punkte einfach so hinzuzufügen, so wie du das jetzt gesagt hast

Einfach gesagt wenn ich bei allen punkten ganzzahlen habe will, darf ich nur 6 Bedingungen wählen und muss die anderen Punkte dann prüfen ob diese ganzzahlig sind, oder?

Welche Punkte würdest du denn empfehlen zu nehmen, wenn ich ganzzahlig bleiben will. die Nullstellen, Extrempunkte oder die Wendepunkte?

#5

Hallo @KeinesHerrenKnecht,
das stimmt nur teilweise. Du solltest bitte Funktion und Gleichung konsequent unterscheiden. Das Polynom ist f:R -> R mit x |-> f(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)…

Wenn die Nullstellen bei x=1, x=2, x=3, … vorgegeben werden, haben die Wendepunkte dazwischen offensichtlich nichtganzzahlige x-Koordinaten.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

#6

Hallo @FelixFeuerdorn,
das geht so nicht. Denn mit zwei Hochpunkten, zwei Tiefpunkten und einem Sattelpunkt hast du fünf Stellen, an denen die erste Ableitung gleich Null sein muss. Bei einem Polynom fünften Grades ist die Ableitung aber vierten Grades und hat überhaupt höchstens vier Nullstellen.

An den Wendestellen ist die zweite Ableitung gleich Null. Bei einem Polynom fünften Grades ist die zweite Ableitung ein Polynom dritten Grades, hat also höchstens drei Nullstellen. Du kannst also in der Ausgangsfunktion höchstens drei Wendepunkte haben.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

#7

Stimmt.

Mit 2 Hp und 2 Tp hat kann das Polynom 5ten Grades gar keinen Sattelpunkt Sp haben, hat immer 3 Wendepunkte Wp und maximal 5 Nullstellen.

Mit 1 Sp hat es nur 1 Hp und 1 Tp, denn ein Sp „vernichtet“ 1 Hp und 1 Tp. Und es hat 2 Wp (wenn man Sp nicht als Wp mitzählt). Und es gibt maximal 3 Nullstellen.

Mit 2 Sp gibt es 0 Tp und 0 Hp, 1 Wp und 1 Nullstelle.

Gruß
Metapher

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#8

Okay da hab ich wohl einen Fehler gemacht, aber mir ist da noch was ein gefallen. Wenn ich jetzt die Punkte zusammen führe bzw. die Funktionen der Punkte zusammen führe, dann hat man doch eigentlich weniger Funktionen wenn man die zusammen geführt hat, oder?

Also wenn ich 4 Nullstellen jetzt zusammen führen müsste dann würde ja 2 Funktion daraus kommen und wenn ich die dann mit 4 Extrempunkten zusammen nehme (2 TP, 2 HP), dann hätte man ja 6 und die würden dann 3 ergeben, mit 3 Wendepunkten hätte man dann wieder 6 und anschließend 3 Funktionen mit diesen 3 kann man dann 2 Funktionen machen (eine Doppelt benutzt, wie man das bei einer Quadratischen machen würde) und hätte dann den 1. Faktor und könnte so zurück rechnen. Die direkten Punkte der Extrem- und Wendepunkte würde ich dann erstmal weglassen. Das ist das wie ich mir das mit der zusammenführung vorgestellt habe, sollte das so nicht gehen, oder zumindest zu gewissen teilen davon? So wie ich das gelernt habe muss man nur jede Funktion mindestens einmal hinzugefügt haben, mehrmals sei kein Problem. Kann aber auch sein das ich das Falsch verstanden habe, aber da ich dass so interressant fand, meinte ich das auch so verstanden zu haben… :thinking:

Grob gesagt würde sich bei einer Geraden Anzahl von Funktionen die Zahl halbieren und bei ungeraden müsste man 3 nehmen wo dann 2 heraus kommen. So war mein Ansatz. und eigentlich müsste das doch gehen, vielleicht nicht mit allen Eigenschaften die ich „kenne“, aber zumindest mehr als 6, oder nicht?

#9

Hallo @FelixFeuerdorn.

Ich dachte, du suchst eine Funktion, die alle Bedingungen erfüllt. Was meinst du denn mit zusammenführen?

Liebe Grüße
vom Namenlosen

#10

Na wenn man die Punkte in die Basis-Funktion eingefügt hat bzw. in die 1. und 2. Ableitung dann hat man ja mehrere Funktionen und mit denen muss man ja die Faktoren berechnen.

edit: ich bin mir jetzt nich ganz sicher mit welcher methode es weniger werden, aber um die Faktoren auszurechen kann man ja entweder Gleichsetzen Einsetzten oder Additionsverfahren anwenden.

#11

Hallo @FelixFeuerdorn,
mal ganz ehrlich, deine Texte sind extrem schwierig zu verstehen. Du solltest im Eigeninteresse für dein Studium versuchen, klarer und vor allem präziser zu beschreiben.

Soweit ich dich verstehe, suchst du eine Funktion g, die verschiedene Eigenschaften (Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte, Sattelpunkte) hat. Diese Funktion ist ein Polynom vom Grad n. Dieses Polynom hat n+1 Koeffizienten. Diese Koeffizienten sind unbestimmt, du benennst sie oben (im Fall n=5) mit a, b, c, d, e, f. Damit hast du sechs Parameter, die aus den Bedingungen bestimmt werden müssen. Deine Vorgaben liefern lineare Gleichungen für diese Parameter. Zur Bestimmung von n Parametern stellst du ein System von n linearen Gleichungen auf. Jede Nullstelle n_k liefert eine Gleichung g(n_k)=0. Jede Extremstelle e_k liefert eine Gleichung g’(e_k)=0. Jede Wendestelle oder Sattelstelle s_k liefert eine Gleichung g"(s_k)=0.

So etwas ist unverständlich:

Also wenn ich 4 Nullstellen jetzt zusammen führen müsste dann würde ja 2 Funktion daraus
kommen

Was meinst du damit, Nullstellen zusammenzuführen? Und welche Funktionen kommen dabei heraus?

Anhand deines Posts

Na wenn man die Punkte in die Basis-Funktion eingefügt hat bzw. in die 1. und 2. Ableitung dann hat man ja mehrere Funktionen

hatte ich vermutet, mit den mehreren Funktionen könnten g und g’ und g’’ gemeint sein. Aber hier

mit 3 Wendepunkten hätte man dann wieder 6 und anschließend 3 Funktionen

tauchen sogar sechs Funktionen auf. Das bleibt dem Leser leider rätselhaft.

Weiter schreibst du

Na wenn man die Punkte in die Basis-Funktion eingefügt hat bzw. in die 1. und 2. Ableitung dann hat man ja mehrere Funktionen und mit denen muss man ja die Faktoren berechnen.

Du schreibst, dass du mit den Funktionen die Faktoren berechnest. Also gibt es zusätzlich zu den Funktionen noch weitere Faktoren? Oder meinst du mit den Faktoren vielleicht die Koeffizienten oder die Parameter? Dann würdest du aber die Koeffizienten der Funktionen ausrechnen oder die Koeffizienten von den Funktionen und nicht die Koeffizienten mit den Funktionen.

Das schreibe ich, um dir zu zeigen, welche Gedanken bei deinen Lesern ablaufen. Als Leser kann ich mich nur auf die Worte konzentrieren, weil ich ja deine Gedanken nicht verfügbar habe. Wenn ich verstehen will, was genau du meinst, dann gucke ich genau nach, ob du mit oder von geschrieben hast. Die Wortwahl ist in der Mathematik extrem wichtig. Wenn man Oma vom Wochenende erzählt, ist es für das Verständnis egal, ob man im Kino oder beim Kino sagt. Denn aus dem Kontext wird sowieso klar, ob man vor dem Kino mit der Freundin Eis gegessen hat oder im Kino einen Film gesehen hat. Aber die Beschreibung mathematischer Sachverhalte hängt extrem an der Genauigkeit.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

#12

Ich gebe zu, Faktor war vielleicht etwas unglücklich, gewählt. Der Grund für meine schlechten Bezeichnungen ist wohl der Wechsel zu dieser Plattform, denn vorher musste ich mit sollchen laienhaften Begriffen um mich werfen damit die verstehen das ich meine, also sorry dewegen…

Also noch mal von vorn: Funktion 5. Grades mit 6 KOEFFIZIENTEN (Mein Beispiel wie ich die Koeffizienten ausrechnen würde, wenn ich mehr als 6 LINEARE GLEICHUNGEN einsetzen will)
4 Nullstellen sind 4 Lineare Gleichungen mit der Basisfunktion
4 Extrempunkte sind 4 Lineare Gleichungen mit der 1. Ableitung (f fällt weg)
3 Wendepunkte sind 3 Lineare Gelichungen mit der 2. Ableitung (e + f fallen weg)
(sind in diesem Fall nicht alle Informationen, soll ja auch nur zeigen was ich meine)

Als Beispiel beim einsetzen des Punktes (2 Punkte) in die Basisfunktion. P1(2,0) P2(5,0)
I 32a + 14b + 8c + 4d + 2e + f = 0
II 3125a + 625b + 125c + 25d +5e + f = 0

um den ersten Koeffizienten (f) heraus zu „löschen“ muss man in diesem Fall einfach das Additionverfahren anwenden. also II - I:
(neue Gleichung) III 3093a + 611b + 117c + 23d + 3e = 0
Das meine ich mit zusammenführen da aus 2 Gleichungen wurde 1, in diesem Fall mit dem Additionsverfahren.

Mit der Anzahl an Gleichungen die ich oben genannt habe würden aus 4 Gleichungen dann 2 neue werden. Mit diesen 2 Gleichungen kann man zusammen mit den Gleichungen der Extremstellen, da diese jetzt ja die gleiche Anzahl an Koeffizienten haben, weiter machen. Aus diesen 6 Gleichungen würden dann 3 neue Gleichungen entstehen und das selbe Spiel mit den Wendepunkten (insgesamt also wieder 6 Gleichungen). so hätte man nach dem „zusammenführen“ (so wie ich mit dem Additionsverfahren) wieder 3 Gleichungen. So etwas in der Art meinte ich, dass man so mit mehr Informationen als die benötigen (in diesem Fall 6) eine Funktion erhält die alle diese Punkte in Betracht zieht, bzw. zumindest so viele Eigenschaften wie möglich, weil vielleicht nicht ALLE Informationen gehen könnten.

@Der_Namenlose Ich hoffe das ist jetzt etwas verständlicher, wenn nicht kannst du dich ruhig wieder an mir auslassen, so lerne ich wenigstens mich Richtig auszudrücken.

Gruß Felix

#13

Hallo @FelixFeuerdorn,
damit wird sehr viel klarer, was du vorhast! Gute Arbeit! :slight_smile: Wenn du das oben skizzierte Programm konkret umsetzt, dann wirst du auf folgendes Problem stoßen: Du bekommst, wie du ja selber schreibst, aus vier Nullstellen, vier Extrempunkten und drei Wendepunkten 11 Gleichungen. Aber du hast nur sechs Variablen. Dein lineares Gleichungssystem ist also massiv überbestimmt. Wenn du die elf Bedingungen wahllos vorgibst, wird das System typischerweise keine Lösung haben. Du rechnest und rechnest und rechnest und irgendwann kommst du auf einen Widerspruch, eine Gleichung der Art 0=1.

Wenn du nur z. B. vier Extrempunkte und zwei Wendepunkte vorgibst, dann legst du damit das Problem schon vollständig fest. Wir gehen natürlich davon aus, dass du die Vorgaben sinnvoll wählst, also die Wendestellen immer zwischen zwei Extremstellen legst. Dann wird dein Gleichungssystem wahrscheinlich eindeutig lösbar sein. Wenn du das System löst, dann erhältst du die Werte für die sechs Parameter a,b,c,d,e,f. Jetzt kommt das Problem: Die Nullstellen sind die Lösungen einer jetzt fest vorgegebenen Polynomgleichung fünften Grades. Die lässt sich im Allgemeinen nicht exakt lösen. Du müsstest schon großes Glück haben, damit diese Gleichung ganzzahlige Lösungen hat.

Davon unabhängig habe ich noch einen Tipp, wie du die Rechenwege vielleicht verständlicher aufschreiben kannst. So, wie du das oben beschreibst, rechnest du geschickt. Du kombinierst deine Gleichungen geeignet, um neue Gleichungen zu erhalten. Dabei reduzierst du die Anzahl der Gleichungen, merkst dir aber zusätzlich, welche anderen Gleichungen auch noch erfüllt sein müssen. Das mag funktionieren, wenn du ein bisschen Erfahrung im Lösen linearer Gleichungssysteme hast. Es ist aber schwierig allgemein zu beschreiben und für den Leser schlecht nachvollziehbar. Deswegen wird der Rechenweg klarer, wenn du weniger trickst und – zumindest für die Erklärung – das Gaußverfahren anwendest.

Das heißt, dass du immer die gleiche Anzahl von sechs Gleichungen hast. Schritt um Schritt werden in den Gleichungen durch elementare Zeilenumformungen (Vervielfachen einer Gleichung, Addieren zweier Gleichungen) Koeffizienten zu Null, bis das System in Diagonalgestalt ist. Dann kann man die Lösung ablesen.

Dahinter steckt die Vorstellung der Linearen Algebra, dass ein lineares Gleichungssystem gleichwertig ist zu einer einzigen Gleichung, aber einer Matrixgleichung. Diese Matrixgleichung wird wiederholt mit Elementarmatrizen multipliziert, bis die Matrix eine Diagonalmatrix ist. Das entspricht dann den Zeilenumformungen. Oder die Matrixgleichung wird sofort mit den richtigen Transformationsmatrizen multipliziert, welche die Koeffizientenmatrix diagonalisieren. Dann steht das Ergebnis auch sofort da. Ein Großteil der linearen Algebra dreht sich um die Frage, unter welchen Voraussetzungen man eine Matrix in eine Diagonalmatrix überführen kann und wie man die dafür notwendigen Transformationsmatrizen berechnet.

Leider habe ich keine Idee, wie du eine Funktion gewinnen kannst, die zahlreiche ganzzahlige Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte hat. Ein Ansatz könnte sein, Beispiele in Mathebüchern zu suchen. Vielleicht sind Mathebücher für Ingenieure oder Fachhochschulstudiengänge geeignet. Im reinen Mathestudium werden solche konkreten Probleme nicht oft gelöst.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

#14

Du hast recht. Es war wohl etwas spät für mich, außerdem habe ich die Fragestellung ungenau gelesen. Ich habe meinen Beitrag gelöscht.
Gruß,
KHK

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#15

Ja den Gauß-Algorythmus kenne ich auch, den habe ich aber wegen genau dem Problem das ich mehr Informationen habe gar nicht in Betracht gezogen da ich ja mit 6 Gleichungen die Treppenstufen realisieren kann und damit die Funktion bereits fertig wäre.

Naja dann muss ich wohl schauen, welche Punkte ich konkret nehme und dann mit einem Programm verschiedene Punkte ausprobieren um die restlichen Punkte mit ganzen Zahlen zu bekommen. Hast du denn einen Tipp welche Punkte ich vorzugsweise nehmen sollte (welche ich dann verändere damit die anderen Punkte auch Ganzzahlig sind), eher von allem etwas oder vielleicht eher die Wendepunkte?