Bestimmen Sie die Steigungen der Tangente t und der Normalen n des Graphen der Funktion f im Berührpunkt P-Null. Geben Sie Gleichungen von t und n an.
a) f(x)= 1/2 x^2 P- Null (2/2)
b) f(x)= x^2- x P- Null (-2/6)
c) f(x)= 2x- 1/4x^2 P- Null (2/3)
x^2 = x hoch 2
bitte helfen und ich bitte um Erklärung 
sorry da kann ich dir leider nicht helfen
Hallo erstmal,
endlich mal eine Anfrage, bei der ich helfen kann:
Ich denke du weißt schon, dass man die Steigung einer Funktion mithilfe der Ableitung bestimmt, der Funktionswert einer Ableitung an der Stelle X ist immer die Steigung der entsprechenden Stammfunktion an der Stelle (wenn du etwas nicht verstehst, frag einfach nach).
Ich habe keine Ahnung wie weit ich im Unterricht schon seit: Es gibt einmal die komplizierte Methode, die man sinniger Weise zuerst lernt:
1: Man kann ja die Steigung einer Funktion an einem Punkt näherungsweise als Steigung einer Geraden beschreiben, die durch zwei benachbarte Punkte geht,
bei Aufgabe a) kannst du ja beispielsweise die Punkte
f(1)=0,5*1²=0,5 ; also Q(1/0,5) und f(3)=0,5*3²=4,5 ; also R(3/4,5) nehmen, die Gerade durch die Punkte hat also die Steigung m=(y1-y2)/(x1-x2)=-4/-2=2
2 ist also ungefähr die Steigung am Punkt 2/2.
Nun kann man m auch noch genauer bestimmen, indem man die Punkte immer näher an P-null(2/2) annähert, z.B. kann man noch die Punkte Q2(1,5/1,125)und R2(2,5/2,7125) nehmen (kann sein das ich mich gerade bei den y-Werten verrechnet habe, ist aber auch egal, da es eh nur ein Beispiel war).
Allgemein kann man nun sagen, dass die Steigung
m=(f(x+h)-f(x))/((x+h)-x) ist (nicht verwirren lassen, das bedeutet nur, dass wir die Funktionswerte x nehmen und die von x+h, also dem 2. Punkt, der einen etwas größeren x wert hat und die Differenz davon durch die Differenz der x-Werte teilen, also einfach nur die Steigung der Geraden zwischen den Punkten (x/f(x)) und (x+h/f(x+h) ausrechenen. Ich kann die Formeln hier nicht vernünftig formatieren, hier: http://www.matheboard.de/archive/14653/thread.html
hat Frood unten das ganze etwas übersichtlicher dargestellt.
Wenn man nun x und h+x in die Funktion f(x)=0,5 x² einsetzt (an die binmische Formel denken) erhält man
m=(0,5(x²+2hx+h²-x²))/h
h ist nun der Abstand der beiden Punkte, zwischen denen wir die Steigung berechen. Wenn wir h gegen 0 laufen lassen, müssten wir folglich genau die Steigung am Punkt x erhalten. Natürlich dürfen wir nicht einfahc durch 0 teilen, aber wir können die Gleichung ja umformen
Die Steigung an der Stelle (2/2) ist
f´(2)=lim h->0 (0,5(2hx-h²))/h
f´(2) ist die Ableitung von f(x) an der Stelle 2,
lim h->0ß heißt, dass wir h gegen 0 laufen lassen,
Nun muss man nur noch kürzen und erhält
f´(2)=lim h->0 (0,5(x-h))/1
Da h jetzt im Zähler steht, können wir problemlos h=0 setzen und erhaltn f´(2)=0,5*2=1
Die Steigung der Tangenten ist also 1.
Wie du siehst, ist diese Methode sehr kompliziert, viel einfacher ist:
f(x)=a*x^n
dann ist
f´(x)=a*n*x^(n-1)
Bsp.:
f(x)=0,5x^2
f´(x)=1*x^1=x
Wenn du für x 2 einsetzt siehst du, dass genau das Gleiche rauskommt.
Diese Formel kannst du auch auf die anderen Gleichungen anwenden.
Wenn du dann die Steigung hast, setzt du diese in die vorläufige Geradengleichung ein
g(x)=m*x+n
und setzt dann den y-Wert des Punktes für g(x) und den x-Wert für x ein und löst nach n auf und schon hast du die Geradengleichung für die Tangente. Die Normale ist ja immer senkrecht zur Tangente, folglich ist m(normale)=-(1/m(tangente)) ; also bei deiner Aufgabe a) war f´(2)=2, also ist die Steigung der Normalen
-(1/2)=-0,5
Nun setzt du auch das in die Geradengleichung ein und rechnest wieder n aus.
Ich hoffe ich konnte weiterhelfen, bei Rückfragen einfach nochmal schreiben, ich wäre über etwas Feedback sehr glücklich, ist schließlich meine erste Antwort auf eine Frage auf dieser Seite.
MfG Till
Hallo,
Vielen Dank für deine Antwort. Nur leider verstehe ich dieses Thema gar nicht. Ich glaub das Oberthema ist Änderungsrate.
Könntest du die Aufgabe vorrechnen ? Und dann vielleicht nochmal versuchen zu erklären ?
Brauchst du das morgen schon?
Schau mal hier: www.khanacademy.org - da ist das Ganze wunderbar erklärt - besser kann ich das auch nicht. … allerdings auf Englisch, aber leicht zu verstehen!
Viel Spaß damit
bitte helfen und ich bitte um Erklärung
Das ist schnell erklärt:
Die Steigung einer Funktion an einem beliebigen Punkt entspricht dem Wert ihrer Ableitung an dieser Stelle.
Die Steigung der Normalen bekommst du über einen Trick:
Den Winkel, den die Tangente mit der x-Achse einschließt erhälst du, wenn du den Arcustangens (tan^-1) von der Steigung nimmst. Da addierst du 90° dazu (die Normale ist ja senkrecht zur Tangente) und nimmst von diesem Winkel wieder den Tangens (tan). Diese Seigung ist dann negativ, aber das ist ja korrekt so.
ja 
ersten beiden mathe
was 
ich versteh gar nichts
a)
f(x)=0,5x²
f´(x)=x
f´(2)=2
t(x)=2x+n
2=4+n
n= -2
t(x)=2x-2
n(x)=-0,5x+n
2=-1+n
3=n
n(x)=-0,5x+3
b)
f(x)=x²-x P(-2/6)
f´(x)=2x-1
f´(-2)=-5
t(x)=-5x+n
6=10+n
-4=n
t(x)=-5x-4
n(x)=1/5x+n
-2=-1+n
-1=n
n(x)=1/5x-1
c)
f(x)=-0,25x²+2x P(2/3)
f´(x)=-0,5x+2
f´(2)=1
t(x)=x+n
3=2+n
1=n
t(x)=x+1
n(x)=-x+n
3=-2+n
5=n
n(x)=-x+5
Das war jetzt die Kurzfassung, ich hoffe es ist ok, wenn ich morgen noch mal genauer drauf eingehe und das ganze erkläre…
MfG Till
ja
ersten beiden mathe
Vermutlich müsst ihr das mit der anderen, komplizierten Methode machen, dazu habe ich jetzt aber echt keine Lust mehr, das ist mir jetzt zu viel Tipparbeit.
Ich habe das jetzt alles mal mit der einfachen Methode gemacht, also wenn
f(x)=ax^n ist die Ableitungsfunktion
f´(x)=n*a*x^(n-1)
Man kann über Ableitungen ganze Romane schreiben, allerdings wäre es einfacher wenn du morgen einfach nochmal dein/e Lehrer/in bittest dir das ganze zu erklären, die Hausaufgaben hast du ja.
Ansonsten schreibe ich dir wie gesagt morgen noch mal
)
Du bist echt super !
Ja bitte erklär mir das morgen. Ich hoffe ich versteh das
ich versteh gar nichts
Das gibts nicht.
Deinem Nick und der Frage nach bist du bereits in der Oberstufe, solltest also Ableitungen und trigonometrische Funktionen kennen.
Was davon verstehst du also nicht?
Ich habe ja ganz vergessen, dass ich dir das noch erklären wollte, sorry.
Ich hoffe, die Hausaufgaben waren richtig, aus dem Umstand, dass du nicht noch mal nachgehakt hast, schließe ich, dass du das Thema mittlerweile verstanden hast, ansonsten schreib einfach noch mal…
MfG Till
neue Matheaufgabe
hey vielen dank für deine Hilfe. Die hausaufgaben waren richtig Jedoch verstanden hab ich sie nicht
bis morgen hab ich auch noch welche auf:
K ist der Graph der Funktion f mit f(x) = x hoch 3
a) bestimmen sie die gleichung der Tangente t in P Null (1/1) an K, zeichnen sie K und t.
b) Die Tangente t schneidet K in einem weiteren Punkt S. Bestimmen sie S.