Das bedeutet N x R
Hallo Jenny,
ich habe mich gegen Ende wohl etwas fortreißen lassen…
den zweiten Teil nochmal langsam.
Was bedeutet N x R?
Es handelt sich hier nicht um das Kreuzprodukt, wie es auf Vektoren definiert ist, sondern um das kartesische Produkt oder direkte Produkt zweier Mengen. Allgemein ist das kartesische Produkt zweier Mengen A und B, geschrieben A x B, die Menge aller Paare (a,b), deren erste Komponente a ein Element aus A, und deren zweite Komponente b ein Element aus B ist.
Nehmen wir z.B. die Mengen A={A,B,C,D,E,F,G,H} und B={1,2,3,4,5,6,7,8}, dann haben wir mit AxB gerade die Feldbezeichnungen eines Schachbretts.
Oder nehmen wir die Mengen der ganzen Zahlen, Z, und die natürlichen Zahlen ohne Null, N+. Dann ergibt Z x N+ die Menge aller Brüche, nämlich Paare aus Zähler und Nenner.
Wie sieht die gewünschte Zuordnung in der Aufgabe aus?
Wie Du Dir schon gedacht hast, nehme ich N für die Kreise um den Südpol und R für die Startpunkte. Die Kreise durchzuzählen ist einfach, und die Startpunkte numeriere ich so, daß auf dem Längengrad 0 die Null liegt, nach Westen gehe ich bis 180 und nach Osten bis -180. So kann ich für jedes Paar (n,r) die „Reiseroute“ bestimmen. Das r gibt mir den Längengrad an, auf dem ich starte, und das n sagt mir, wie weit entfernt vom Südpol ich starte (nämlich so, daß ich nach 100km genau auf dem Kreis lande, auf dem ich für die 100km n-mal um den Südpol wandern muß).
Der Startpunkt Nordpol fehlt noch. Dafür nehme ich die Paare, die vorne eine Null haben, denn einen Nullten Kreis gibt’s bei meiner Beschreibung nicht. D.h. für jedes Paar (0,r) starte ich am Nordpol und bestimme durch das r, auf welchem Längengrad ich zuerst nach Süden wandere.
Letzte Frage: ich habe doch jetzt die ganze Menge N benutzt, aber nur einen Teil von R, nämlich den zwischen -180 und 180. Ist das geschummelt? Es sollten doch genausoviele Punkte wie Paare in N x R sein?
Antwort: Stimmt trotzdem (natürlich, sonst hätte ich mir die Mühe gespart). Für die reellen Zahlen gilt, daß jedes Intervall (eine Teilmenge, die alles zwischen zwei Zahlen enthält), genauso viele Elemente enthält wie R selber. Beweis bei Bedarf und auf Anfrage.
So, damit hätten wir (sowas ähnliches wie) bewiesen, daß es genausoviele Punkte mit der angegebenen Eigenschaft auf der Erdoberfläche gibt, wie Zahlenpaare in N x R. Mathematisch 100%ig ist diese Darstellung noch nicht, aber dafür (hoffentlich) noch leicht verständlich.
Grüße, Ralf
