Mathe | Wieder Frage zu einer Extremalbedingung

Wissenschaft Physik
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Hallo
So ein schöner Sonntag und ich muss mathe machen… naja, was jetzt schöner von beidem ist, darüber kann man sich streiten.

Die aufgabe lautet:
Ein Kegel soll bei einer 12 cm langen Seitenkante s ein möglichst
großes Volumen bekommen.

Die Extremalbedingung ist:

> 1  
> V =-pi\*r²\*h


Die Nebenbedingung lautet:


     
    
    
    > s² = 12² = r²+h²
    



Nun forme ich nach r² um, erhalte:


    
    
    
    > r² = 144-h²
    



und setze dies in die Extremalbedingung ein:


    
    
    
    > 1  
    > V =-pi\*(144-h²)\*h
    
    
    Jetzt muss ich die 1. ableitung bilden, löse zuerst die klammer auf:
    
    
        
        
        
        > 1  
        > V(h) = 48pi (minus) -pi\*h^3  
        > 3
        
    
    
    
    
    
        
        
        
        > 1  
        > V'(h) = 48pi (minus) 3\* -pi\*h^2  
        > 3
        
    
    
    
    
    
        
        
        
        > V'(h) = 48pi - pi\*h^2
        
    
    
    
    
    
        
        
        
        > V''(h) = 48pi - 2pi\*h
        
    
    
    
    
    Stimmen die Ableitungen?
    Es sollte ein Fehler drin sein, da ich am ende 2 relative minima errechne (he1 = -6,92, he2 = +6,92) aber das kann ja nicht sein, denn das volumen soll ja möglichst groß sein (also brauche ich ein maximum), oder?
    
    gruß, ryan
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Hi,

1
V(h) = 48pi (minus) -pi*h^3
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1
V’(h) = 48pi (minus) 3* -pi*h^2
3

V’(h) = 48pi - pi*h^2

V’’(h) = 48pi - 2pi*h

48pi abgeleitet ergibt 0 schon in der ersten Ableitung.

gruß, ryan

HTH & Gruss
Paul

3

48pi abgeleitet ergibt 0 schon in der ersten Ableitung.

Okay, wenn ich die 48pi weglasse, wären die ableitungen dann richtig?
wohl nicht, denn dann hätte ich extrema bei (0|0) & (0|0), ausserdem wäre die beiden extremstellen in die 2. ableitung eingesetzt dann auch 0, keine ahnung, ob es dann ein hoch oder tiefpunkt ist…

Hilfe!

gruß ryan

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Ah, ich sollte die Augen aufmachen. 48pi ergibt zwar abgeleitet 0, nur kommt nirgends 48pi vor :wink:

f(h)= (1/3)*pi*(144-h^2)*h f(h) = 48*pi*h-h^3. Das erste h ging bei uns beiden verloren :wink:

Hilfe!

gruß ryan

HTH
Paul

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Ach ja klar! Danke dir :smiley:

gruß, ryan

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f(h)= (1/3)*pi*(144h - h^3)
=> f(h) = 48*pi*h-h^3.

Aber warte muss nicht alles in der Klammer mit 1/3pi multipliziert werden und nicht so aussehen:

> 1  
> V(h) = 48\*pi\*h - -pi\*h^3  
> 3
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f(h)= (1/3)*pi*(144h - h^3)

Dritter Versuch:
48*pi*h - (1/3)*pi*h^3

Soooo

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okay okay und das abgeleitet ergibt
48pi-pi*h² oder 48pi-3/3pi*h²

die erste ableitung entstand, da ich dachte 3/3 sind ja 1 ganzes, also einfach …-pi*h² aber vllt stimtm auch die 2.?

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Hi,

okay okay und das abgeleitet ergibt
48pi-pi*h² oder 48pi-3/3pi*h²

die erste ableitung entstand, da ich dachte 3/3 sind ja 1
ganzes, also einfach …-pi*h² aber vllt stimtm auch die 2.?

Jo, die stimmen beide so. Die zweite Abl. waer dann
f’’(h)=-2*pi*h was fuer die positive Extremstelle (h>0) ein lokales Maximum ergibt, und das ist auch gut so :smile:

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Olee einen schönen abend noch

gruß, ryan