Mathe: Winkelberechnung, viele Unbekannte

Hallo in die große Runde und Frage an die Matheexperten:

Ich habe ein Rechteck welches in einem unbekannten Winkel gedreht ist. als einzige Anhaltspunkte habe ich das „brutto Außenmaß“ für 0°. Optional kann ich mir die Außenmaße für fixe Winkel (als bspl. 45°) generieren (rechtes Bild).

• Wie errechne ich mir den unbekannten Winkel? Sprich, wie ist die Formel?

Ich gehe davon aus, dass ich zu den 0° Zwei weitere fixe Werte erzeugen muss.
Jede beliebige Drehung und auslesen der Werte ist leider sehr zeitintensiv, deshalb so wenig fixe Drehungen wie möglich :slight_smile:

Aktuell gehe ich in 10°, 1° und 0,1° Schritten alle Drehungen durch, schreibe mir dies schrittweise in eine Wertetabelle und lasse mir den Kleinstmöglichen Flächeninhalt zurückspielen. Diese dauert idR über 30 minuten und ist Somit keine Option :frowning:

Schon einmal vielen Dank für euern Input.

Hausaufgabe?

Mein Ansatz (hab im Moment keine Zeit): Die weissen Dreiecke sind sich ähnlich. Jeweils zwei davon sind gleich. Damit müssten sich jetzt entsprechende Gleichungen aufstellen lassen.

Vielleicht mal um auf den Weg zu führen:
Wenn du die unteren weißen Dreiecke betrachtest, kannst du sagen, dass die Linie A aus einem großen Teil rechts und einem kleinen Teil links besteht. Du kennst von diesen Dreiecken recht viel Seitenlängen und kannst sagen, dass der Winkel alpha bei beiden irgendwo liegt und gleich sein muss.

Weißt du wie es weitergehen kann?

So ähnlich bin ich da auch heran gegangen. Dann gibt es drei Unbekannte - nämlich den gesuchten Winkel sowie Länge und Breite des Rechtecks. Mit jeweils zwei Gleichungen für jedes Hüllrechteck sind die resultierenden Gleichungssysteme aber entweder unter- oder überbestimmt. Momentan habe ich dafür noch keine Lösung.

Ich lese die Problembeschreibung so, dass die Maße des grünen Rechtecks bekannt sind:

als einzige Anhaltspunkte habe ich das „brutto Außenmaß“ für 0°.

Hier vieleicht ein Ansatz das wenn ich 2 weitere Rotation (zb +10° / -10°) durchführe wodurch ich 2 neue Längen/Breiten habe irgendwie zu einer Ännäherung der 2 Punkte auf A bzw. B definiert bekomme.
Ich Entschuldige mich on top das mir die Fachbegriffe fehlen!

Das habe ich auch erst gedacht, aber dann habe ich mir die Bilder angesehen. Das rechte gilt explizit für 45°. Das Rechteck ist aber um alpha + 45° gedreht. Entschrechend gilt das linke offenbar für 0°. Da ist das Rechteck „nur“ um den gesuchten Winkel alpha gedreht.

leider nein,
es ist nur A und B bekannt, alles andere ist Unbekannt.
die Option auf weitere Drehungen mit weitere Messung besteht, beispiel rechts mit C/D

Ich Entschuldige mich on top das mir die Fachbegriffe fehlen!

Kein Problem! Eigentlich solltest du mit einem dualen Gleichungssystem schon so zur Lösung kommen können ohne Szenarien.
Sprich: Es gibt nur eine grüne Box, die so in diesen 2 Briefkästen untergebracht werden kann. Sie ist damit eindeutig definiert.

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Wie ich oben schon sagte, ist das Problem dann überbestimmt.

Für 0 <= phi = alpha + beta <= 90° gilt

X’ = X·cos(phi) + Y·sin(phi)
X’ = X·sin(phi) + Y·cos(phi)

Dabei ist alpha der gesuchte Winkel sowie X und Y die unbekannte Breite und Höhe des Rechtecks. X’ und Y’ sind die bekannten Maße des Hüllrechteks und beta der fixe zusätzliche Winkel. Mit den Werten für beta = 0° ergibt das zwei Gleichungen:

A = X·cos(α) + Y·sin(α)
B = X·sin(α) + Y·cos(α)

Das genügt aber nicht, um alle drei Unbekanten zu bestimmen. Die Werte für beta = 45° liefern zwei weitere Geleichungen:

C = X·cos(α + 45°) + Y·sin(α + 45°)
D = X·sin(α + 45°) + Y·cos(α + 45°)

Jetzt sind es insgesamt vier Gleichungen aber immer noch drei Unbekannte. Das Problem ist jetzt also überbestimmt. Mit jedem weitern Winkel kommen zwei weitere Gleichungen dazu, während die Zahl der Unbekannten gleich bleibt. Das Problem wird dadurch also eher noch schlimmer.

Vielleicht sind ja einige Gleichungen redundant. Das kann ich aber bisher noch nicht erkennen. Ich werde mal sehen, sie es aussieht, wenn ich mit dem Additionstheorem für sin und cos darauf los gehe. Eventuell fällt dann ja was raus.

Andernfalls sehe ich nur die Möglichkeit, das Ganze als Optimierungsproblem zu lösen. Das ist aber hässlich, weil es nichtlinear ist und weil ich eigentlich eine exakte Lösung erwarte.

ich glaube jetzt habe ich 80% mehr verstanden :slight_smile:
oder anders ausgedrückt, es haben sich 2 der 7 Siegel gelöst

D.h. die rechte Grafik ist eigentlich nur eine von Dir selbst gemachte Hilfsgrafik, die mit der eigentlichen Aufgabenstellung nichts zu tun hat, sondern nur Teil einer experimentellen Annäherung ist?

Das dürfte dann hier eher verwirren als zur mathematisch sauberen Lösung beitragen, die ich allerdings auch noch nicht habe.

Aber irgendwie schreit die Darstellung mit den ganzen rechtwinkligen Dreiecken nach Pythagoras. A und B sind jeweils die Summe der nach Pythagoras zu bestimmenden Seiten der beiden weißen Dreiecke, aus denen sie bestehen.

K.A. wie man das sinnvoll formuliert und ausrechnet.

Kommt man so aber an zwei Längen des größeren weißen Dreiecks und nimmt den bekannten 90° Winkel dazu, kann man den gefragten Winkel berechnen.

Ich habe es jetzt mal als Optimierungsproblem formuliert. Dabei ist der gesuchte Winkel α so zu wählen, dass die Fehlerquadratsumme

FQS(α) := SUM{[X(α)·cos(α + βi) + Y(α)·sin(α + βi) - X’i]² + [X(α)·sin(α + βi) + Y(α)·cos(α + βi) - Y’i]²}

minimal wird. Dafür kann man z.B. den Solver von Excel verwenden.

X’i und Y’i sind Breite und Höhe des Hüllrechtecks für den bekannten Winkel βi.
X(α) und Y(α) sind die jeweils optimalen Werte für Breite und Höhe des Rechtecks beim Winkel α. Es gilt

X(α) = [U(α)·W(α) - N·V(α)]/[U²(α) - N²]
Y(α) = [V(α) - N·X(α)]/U(α)

mit

U(α) = 2·SUM{cos(α + βi)·sin(α + βi)}
V(α) = SUM{X’i·cos(α + βi) + Y’i·sin(α + βi)}
W(α) = SUM{X’i·sin(α + βi) + Y’i·cos(α + βi)}

und der Anzahl N bekannter Hüllrechtecke.

Für die in den beiden Abbildungen angegebenen Werte erhalte ich damit den Winkel α = 13,808° und die Abmessungen X = 53651 und Y = 27529 des Rechtecks.

Hallo zusammen.

Nicht ganz so umständlich, nämlich ohne Extremalisierung, ergibt sich der Winkel alpha als Lösung der transzendenten Gleichung

[ cos(2alpha)+sin(2alpha) ] / [ cos(2alpha)-sin(2alpha) ]
= [ -A^2+B^2+C^2-D^2 ] / [ A^2+B^2-C^2-D^2 ]

Das führt auf den Wert alpha=13.8°, den @DrStupid auch schon gefunden hat.

Daraus kann man dann die Abmessungen des grünen Rechtecks berechnen,

L1 =[ A cos(alpha)-B sin(alpha) ] / cos(2alpha)
L2 =[ B cos(alpha)-A sin(alpha) ] / cos(2alpha)

Das führt auch wieder auf die Ergebnisse von @DrStupid.

Liebe Grüße
vom Namenlosen

Ich habe es jetzt noch einmal explizit berechnet, indem ich einfach eine Gleichung weggelassen habe:

A = X·cos(α) + Y·sin(α)
B = X·sin(α) + Y·cos(α)
C = X·cos(α + β) + Y·sin(α + β)

Wenn ich die ersten beiden Gleichungen nach

X = [B·sin(α) - A·cos(α)]/[1 - 2·cos²(α)]
Y = [A·sin(α) - B·cos(α)]/[1 - 2·cos²(α)]

auflöse und in die dritte einsetze, dann ergibt das eine quadratische Gleichung für tan(α):

0 = [A·cos(β) + B·sin(β) - C]/[C + B·sin(β) - A·cos(β)] - 2·tan(α)·A·sin(β)/[C + B·sin(β) - A·cos(β)] + tan²(α)

Die Lösung

tan(α) = {A·sin(β) - sqrt[A² - 2·A·C·cos(β) + C² - B²·sin²(β)]}/[C + B·sin(β) - A·cos(β)]

entspricht wieder dem o.g.Winkel von α = 13,808°.

ich habe keine ahnung wie man sich hier am besten bedankt für den super geilen input.
Aber vielen vielen Dank !!! ich werd die Formel direkt mal versuchen es in mein Programm um zu setzen.

Viele grüße aus Frankfurt

Diese Formulierung war missverständlich. Gemeint ist wohl, daß, wie in der linken Graphik, daß der zu α addierte Winkel 0° beträgt. So, wie in der rechten Graphik der zu α addierte Winkel 45° beträgt.

Das geht aber nur, wenn das grüne Rechteck eindeutig bestimmt ist. Du schreibst aber, daß dessen Seitenlängen unbekannt sind. Du hast für die rechte Graphik das Rechteck aus der linken also einfach kopiert?

Hier mal eine die Graphik mit Kennzeichnungen:

rechteck4

Nur, wenn das Rechteck [cd] bzw. [ABCD] festgelegt ist, dann sind die Seitenlängen des Einbettungsrechtecks [ab], das durch das Anlegen eines Schenkels „x“ an „d“ mit dem Winkel α erzeugt wird, eindeutig bestimmt.

Denn umgekehrt, in einem gegebenen Rechteck [ab] (= in deiner Graphik [AB]) lassen sich (in einem wohldefinierten Geltungsbereich) unendlich viele Rechtecke einbetten, mit je einem eigenen Winkel α. Wenn bei dir also das eingebettete (=grüne) Rechteck beliebig ist, dann ist α nicht bestimmbar.

Folgende Überlegung: Werden zwei Punktepaare [A,C] und [B,D] In einem gegebenen Rechteck [ab] punktsymmetrisch angeordnet, dann bilden diese im allgemeinen ein Parallelogramm. Sie bilden ein Rechteck genau dann, wenn dessen Dialogalen gleich lang sind. Hier sind die Diagonalen [AC] und [BD].

Es gilt dann mit
a = x+y
b = u+v

[1] [AC]² = a² + (u-v)² = a² + (2u-b)²
[2] [DB]² = b² + (x-y)² = b² + (2x- a)²

→ [AC]² = [DB]²


[3] u(u-b) = x(x-a)
bzw,
x[a-x) = u(b-u)

Das ist (logischerweise) konsistent mit

[4] (b-u)/x = tan α = (a-x)/u

Für ein gegebenes x (d.h. für eine gegebene Seite c des eingeschriebenen (= grünen) Rechtecks ergibt sich die Gleichung für u

[5] u² - bu + x(a-x) = 0

[6] u = b/2 ± √(b²/4 - x(a-x))

Daraus und mit [4] ist dann auch α bestimmt.

Und daraus ergibt sich auch, mit x/c = cos α, daß bei gegebenem Einbettungsrechteck [a,b] alle (!) diejenigen eingeschriebenen Paralleogramme [ABCD] bzw. [cd] Rechtecke sind, für die gilt:

[7] b²/4 x(a-x))
für die also die Wurzel in [6] reell ist.

Also bei unbestimmtem grünen Rechteck, eingeschrieben in das bestimmte Rechteck [a,b], ist auch der Winkel α nicht bestimmt.

In deinem Beispiel könntest du x graphisch bestimmen, daraus mit [6] u berechnen und daraus mit [4] den Winkel berechnen. Ich komme auf etwas zwischen 13,5° und 14°. Wurde ja so auch auf anderen Wegen gefunden. Aber, wie gesagt, nur unter der Bedingung, daß daß das Seitenverhältnis des grünen Rechtecks als bestimmt gilt.

Gruß
Metapher