Matheaufgabe zum Thema Geschwindigkeit

Wissenschaft Mathematik
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Hallo ihr Mathekönner da draußen,
hab eine Aufgabe bei der ich nicht weiter weiß. Und zwar diese:

Die Geschwindigkeit eines Flugzeuges beträgt 800 km/h. Der Pilot soll bei einem kräftigen Westwind von 200 km/h genau in Richtung Norden fliegen.
a)Berechnen Sie in einem Koordinatensystem, in welche Richtung der Pilot seine Maschine steuern muß.
So gibt noch ne b), aber die ist im Moment unwichtig. Hab ein Koordinatensystem gemalt in dem mein Flugzeug auf der y-Achse nach Norden fliegt. Der Wind also aus der -x-Achsen Richtung kommt. Dann hab ich 800 km/h auf der y-Achse und 200 km/h auf der x-achse eingezeichnet. Dann die Punkte verbunden und erhalte dadurch ein rechtwinkliges Dreieck direkt am Nullpunkt des Koord.sys. .
Wenn ich nun den Winkel oben berechne mit tan alpha = a/c erhalte ich nen winkel von 14,03°. Die Lösung ist aber 14,48°.
Hoffe irgendwer hat das verstanden und kann mir weiter helfen.
Danke

2

Hallo,

ohne Gegensteuern würde das Flugzeug die Flugstrecke mit 800 km/h auf der Hypothenuse zurücklegen. Du musst also alpha aus dem arc sin berechnen.

Grüße

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Hi,

Wichtig: MACH EINE GENAUE!!! SKIZZE. Wo genau sind Rechte Winkel?

Da komm ich aber au den gleichen Winkel. Ob ich nun sin oder
tan nehme ist im endeffekt doch egal, oder?

Nö, sei denn, du nimmst die jeweils richtigen Seiten.

Wenn alles funktioniert, startet das Flugzeug in einem Startpunkt S und fliegt genau nach Norden zum Endpunkt E. Die Strecke SE geht in der Skizze senkrecht nach oben; nennen wir sie „a“.

Währenddessen zieht der Westwind genau nach Westen. Die Windwirkung zeichnen wir ein, indem wir die Strecke „b“ am Endpunkt E ansetzen und 200 Einheiten nach links (zum Punkt W) zeichnen. Die Strecke EW nenen wir „c“. Da a und b senkrecht aufeinander stehen, ist c die Hypothenuse in dem Dreieck SEW.

Das Flugzeug muss, um den Wind zu kompensieren, von S in Richtung W fliegen wollen (entlang c). Die Düsen geben den Schub in Richtung c und der Wind drückt gleichzeitig in Richtung b, so dass das Flugzeug sich in der Summe entlang der Strecke a bewegt (so soll es ja sein).

Die Strecke c hat die Länge 800 Einheiten. b ist 200 Einheiten lang. Die Länge von a kennen wir nicht.

Gesucht ist der Winkel zwischen c und a (beim Punkt S).

Der Sinus-Satz sagt: sin(Winkel) = Gegenkathete/Hypothenuse

Die Gegenkathete ist b=200; die Hypothenuse ist c=800. Da beides bekannt ist, kann man den Sinus des Winkels ausrechnen: 0,25. Den Winkel selbst bekommt man über die Umkehrfunktion des Sinsus (nennt sich „Arcus-Sinus“) und das sind 14.47751°

Der Tangens-Satz sagt: tan(Winkel) = Gegenkathete/Ankathete

Die Gegenkathete ist b=200; die Ankathete ist a=?.
a ist unbekannt. Man könnte es aber ausrechnen (Satz des Pythagoras!):
a²+b²=c², daraus folgt a² = c²-b² = 800²-200² = 600000 und a = Wurzel daraus = 774.5967 Einheiten.
Der Tangens des Winkels ist also b/a = 200/774.5967 = 0.2581989. Den Winkel selbst bekommt man wiederum über die Umkehrfunktion des Tangens („Arcus-Tangens“) und der ist 14.47751.

Der Cosinus-Satz sagt cos(Winkel) = Ankathete/Hypothenuse

Na, das bekommst du jetzt selbst hin…

VG
Jochen

4

Danke schon mal für die ausführliche Antwort. Das mit den verschiedenen Sätzen war gar nicht mein Problem. Ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass in unserer Skizze a=800 ist und nicht c, was aber Sinn macht.
Nur ein kleiner Denkfehler, der mir in der Klausur hoffentlich nicht alzu viele Punkte gekostet hätte.
Lg Holly

5

Moin!

Von der Rechnung her ist das, soweit ich das sehe, alles Richtig. Nur eine Kleinigkeit hab ich anzumerken:

Der Sinus-Satz sagt: sin(Winkel) = Gegenkathete/Hypothenuse

Der Tangens-Satz sagt: tan(Winkel) = Gegenkathete/Ankathete

Der Cosinus-Satz sagt: cos(Winkel) = Ankathete/Hypothenuse

Das sind nicht der Sinus-, Kosinus- und Tangenssatz, sondern die Definitionen oder Veranschaulichungen von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

Der Kosinussatz sagt beispielsweise, dass in einem beliebigen(!) Dreieck gilt:
c² = a² + b² - 2*a*b*cos(gamma).
(siehe hierzu auch Wikipedia).

Liebe Grüße
Daniel

6

Moin!

Das sind nicht der Sinus-, Kosinus- und Tangenssatz, sondern
die Definitionen oder Veranschaulichungen von Sinus, Kosinus
und Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

Du hast vollkommen Recht. Ich hätte die Bezeichnungen in Gänsefüßchen setzen sollen. Zu meiner Verteididung muss ich aber sagen, dass wir diese „Sätze“ daaaahhhmmaaals in der Schule vereinfachend und fälschlicherweise tatsächlich so genannt hatten (k.A. ob der Lehrer das mal so gesagt hatte oder sich das unter uns Schülern einfach so durchgesetzt hatte).

VG
Jochen

7

Hi,

Die Strecke EW nenen wir „c“.

ich nehme an, es liegt hier ein Schreibfehler vor und du meintest „SW“ anstatt „EW“. Denn „EW“ ist doch schon die Seite „b“.

Gruß
Pontius