Matheaufgabe zur Wahrscheinlichkeit

Wissenschaft Mathematik
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hallo liebe mathematiker

ich habe eine frage zur wahrscheinlichkeit.
die aufgabe lautet: in einer prüfung werden 15 mulitple-choice-fragen mit je 5 antwortmöglichkeiten gestellt. es ist immer nur eine antwort richtig. es wird zufällig geantwortet. mit 9 richtig beantworteten fragen ist die prüfung bestanden. wie gross ist die wahrscheinlichkeit diese prüfung zu bestehen? als resultat ist 0.008 angegeben.

ich habe mir bis jetzt überlegt:
mit 9 oder mehr antworten gilt die prüfung als bestanden, also müssen doch die wahrscheinlichkeiten addiert werden. flasch ist jedoch: (0.2)^9 + (0.2)^10 + (0.2)^11 + (0.2)^12 + (0.2)^13 + (0.2)^14 + (0.2)^15

wäre diese aufgabe auch mit dem gegenereignis zu lösen (evtl. wäre das einfacher?) wüsste aber auch da nicht wie…

was muss ich tun? kann mir jemand die überlegung erläutern? das wäre toll… danke.

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ich habe mir bis jetzt überlegt:
mit 9 oder mehr antworten gilt die prüfung als bestanden, also
müssen doch die wahrscheinlichkeiten addiert werden. flasch
ist jedoch: (0.2)^9 + (0.2)^10 + (0.2)^11 + (0.2)^12 +
(0.2)^13 + (0.2)^14 + (0.2)^15

Hallo,

im Prinzip hast du schon richtig gedacht, du hast nur eine Sache übersehen. (0.2)9 wäre die Wahrscheinlichkeit, dass z.B. die ersten neun Fragen richtig und die letzten 6 falsch beantwortet wurden. Aber welche neun Fragen man richtig beantwortet spielt ja keine Rolle. Die Frage ist also, wie viele Möglichkeiten gibt es aus den 15 Fragen 9 auszuwählen ? Die Antwort ist 15 über 9.
Entsprechend erhalten auch die anderen Wahrscheinlichkeiten noch einen Faktor. Damit ergibt sich

{15\choose 9}0,2^9+{15\choose 10}0,2^{10}+\ldots+{15\choose 15}0,2^{15}

Gruß

hendrik

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Hossa :smile:

die aufgabe lautet: in einer prüfung werden 15
mulitple-choice-fragen mit je 5 antwortmöglichkeiten gestellt.
es ist immer nur eine antwort richtig.

Bei zufälligem Ankreuzen liegt man also in 1 von 5 Fällen korrekt, das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 0,2.

mit 9 oder mehr antworten gilt die prüfung als bestanden

Man hat also bestanden, wenn man mindestens 9 Fragen korrekt erraten hat.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 9 Fragen korrekt sind ist:

P_9=\binom{15}{9}\cdot0.2^9\cdot0.8^6=5005\cdot0.2^9\cdot0.8^6=6.7175972864\cdot10^{-4}

Von den 15 Fragen müssen 9 korrekt sein, daher 0.29, und 6 müssen falsch sein, daher 0.86. Weiter gibt es 15 über 9 Kombinationen, wie man aus den 15 Fragen die 9 korrekten auswählen kann.

Die Wahrscheinlichkeiten, genau 10, 11, 12, …, 15 Fragen korrekt zu haben sind analog:

P_{10}=\binom{15}{10}\cdot0.2^{10}\cdot0.8^5=3003\cdot0.2^{10}\cdot0.8^5=1.00763959296\cdot10^{-4}
P_{11}=\binom{15}{11}\cdot0.2^{11}\cdot0.8^4=1365\cdot0.2^{11}\cdot0.8^4=1.145044992\cdot10^{-5}
P_{12}=\binom{15}{12}\cdot0.2^{12}\cdot0.8^3=455\cdot0.2^{12}\cdot0.8^3=9.5420416\cdot10^{-7}
P_{13}=\binom{15}{13}\cdot0.2^{13}\cdot0.8^2=105\cdot0.2^{13}\cdot0.8^2=5.505024\cdot10^{-8}
P_{14}=\binom{15}{14}\cdot0.2^{14}\cdot0.8^1=15\cdot0.2^{14}\cdot0.8=1.96608\cdot10^{-9}
P_{15}=\binom{15}{15}\cdot0.2^{15}\cdot0.8^0=0.2^{15}=3.2768\cdot10^{-11}

Das muss man noch alles addieren:

7.84985391104\cdot10^{-4}

Viele Grüße

Hasenfuß

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(0.2)9 wäre die
Wahrscheinlichkeit, dass z.B. die ersten neun Fragen richtig
und die letzten 6 falsch beantwortet wurden.

{15\choose 9}0,2^9+{15\choose
10}0,2^{10}+\ldots+{15\choose 15}0,2^{15}

Da fällt mir auf, dass ich die 6 falschen Antworten in der Formel vergessen habe, sorry. Es müsste heißen

{15\choose 9}0,2^90,2^6+{15\choose
10}0,2^{10}0,2^5+\ldots+{15\choose 15}0,2^{15}0,8^0

hendrik