Liebe/-r Experte/-in,
ich habe ein Problem mit einer Übungsaufgabe aus unserem Mathekurs. Wie löst man denn diese Aufgabe? Würde mich über Erklärungen freuen!
Zeigen sie:
∀a,b ∈R
a≥0∧b≥0 → √ab≤(a+b)/2
danke und gruß
martin
Hallo Martin.
Zeigen sie:
∀a,b ∈R
a≥0∧b≥0 → √ab≤(a+b)/2
Ich muss leider nachfragen: wofür steht das Symbol „√“? Ich vermute die Wurzel.
Der Beweis geht am besten per Widerspruch:
Angenommen, es gilt √ab > (a+b)/2
Wir betrachten drei Fälle (ich mache hier nur den ersten, die anderen zwei (a = b und b > a) ergeben sich entsprechend):
Fall 1: a > b
Dann gilt:
√ab > √bb (da b √b² = b (mit b>=0)
> (a+b)/2 (lt. Voraussetzung)
> (b+b)/2 (da b b -> Widerspruch!
Alles klar 
Viele Grüße,
Michael
Hallo,
da a und b größer als null sind, ist das Quadrieren der Wurzel eine Äquivalenzumforum. Du quadrierst also beide Seiten der Ungleichung und multiplizierst das (a+b)^2 aus und subtrahierst dann auf beiden Seiten der Ungleichung den Term „a*b“. Dann hast du eine wahre Aussage stehen.
Grüße,
Hanzo