Liebe/-r Experte/-in,
wie kann ich chnittpunkte zwischen dem Einheitskreis und trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens) berechnen. Den Einheitskreis habe ich mir aus f(x) = Wurzel(1-x^2)und f(x) = -(Wurzel(1-x^2)) gebastelt. Aber wie finde ich jetzt die Schnittpunkte mit f(x) = sin(x), f(x) = cos(x), f(x) = tan(x)?
Danke,
Carsten
Prinzipiell berechnet man Schnittpunkte zweier Funktionen durch Gleichsetzen der Funktionen (dahinter steckt: für welches (selbe) x sind auch die y-Werte gleich?).
Dann kann man prinzipiell die Gleichungen nach x umformen und erhält einen/mehrere Werte (je nach Anzahl der Schnittpunkte). Anschließend kann man x in eine der Funktionen einsetzen und so die y-Koordinate berechnen.
Beispiel für zwei lineare Funktionen: f(x) = x und g(x) = 2x+1.
x = 2x+1 x = -1 (Schnittpunkt mit x-Koordinate bei -1) und
f(-1) = g(-1) = -1. Der Schnittpunkt liegt also bei (-1/-1).
Das Problem bei den gegeben Funktionen ist aber, dass es schwierig (unmöglich?) ist, nach x aufzulösen.
Ich denke, hier kann man die Schnittpunkte nur durch systematisches Ausprobieren nachweisen.
Hallo Carsten,
Tut mir leid, da fällt mir auch keine Lösung zu ein.
Matthias
Aha, ich habe mir den Einheitskreis mal angeguckt (Internetrecherche) und die Information „Der Sinus ist genau die Länge des Lotes unter dem Schnittpunkt der Gerade mit dem Winkel \alpha“ erhalten. (Siehe hier http://www.schule-studium.de/Mathe/Sinus-im-Einheits…).
Dann ist die Sache aber sehr einfach. Wir bestimmen einfach die Geradengleichung für den Winkel \alpha:
f(x,\alpha) = (cos \alpha) / (sin \alpha) x.
Das ist die Geradengleichung zu der Strecke mit der Länge 1. Die Steigung (und damit die Gerade) ist natürlich von \alpha abhängig. Diese mit der „oberen“ Kreisgleichung gleichsetzen ergibt:
(cos \alpha/sin \alpha) = Wurzel(1-x^2).
Jetzt musst du quadrieren und die Gleichung nach x^2 auflösen. Es ergeben sich zwei Werte für x, weil es natürlich auch zwei Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis gibt.
Ich denke, damit dürfte die Frage beantwortet sein …
Ansonsten bitte Rückfragen.
Grüße, Matthias.
Sorry, es muss natürlich
„(cos \alpha/sin \alpha) x = Wurzel(1-x^2).“
heißen.
Matthias.