da ich morgen eine matheklausur schreibe, bräcuhte ich Ihre dringende Hilfe !!! Die Aufgabe habe ich leider ohne Lösung. welche lautet:
Das Schaubild einer Funktion f(x)=ax^2+bx+c hat den Scheitel S(-2/-3) und geht durch den Punkt P(-1/2). Bestimme in der Funktionsgleichung die Koeffizienten a/b/c.
Gehe dabei von der Form f(x) = k*(x-d)^2+e aus.
Ich danke euch für Ihre Hilfe im Voraus und entschuldige mich für mögliche Unannehmlichkeiten !!! Bin echt am Verzwiefeln !!
Hallo,
mit „Scheitel“ ist gemeint, das die Funktion an der Stelle einen Extrempunkt hat,
also in der 1ten Ableitung dort 0 ist: f’(xs)=2ax+b = 0.
Somit haben wir für die drei Unbekannten a,b und c die 3 notwendigen
Gleichungen:
A: f(-2) = -3
B: f(-1) = 2
C: f’(-2) = 0
Eingesetzt ergibt das:
A: 4a -2b + c = 3
B: a - b + c = 2
C: -4a + b = 0 ,bzw. b = 4a
Um die Gleichung C in A und B einzusetzen, subtrahieren wir zuerst B von A. Das
ergibt die neue Gleichung D.
D: 3a - b = 1
C in D eingesetzt gibt: a = -1
a in D eingesetzt gibt: b = -4
a und b in B eingesetzt ergibt: c = -1
Die gesuchte Funktion lautet also f(x)=(-1)x^2 -4x -1
Die angegebene Form: f(x) = k*(x-d)^2+e heißt auch Scheitelpunktsform, da d
und e die Koordinaten des Scheitelpunkts sind. Setzen wir also für d=-2 und für
e=-3 ein, so erhalten wir:
f(x) = k*(x-(-2))^2+(-3)
bzw:
f(x) = k*(x+2)^2-3
Jetzt fehlt noch k, das ist aber auch nicht schwer, denn wir haben ja noch den
Punkt P. Da der auf dem Graphen der Funktion liegen soll, muss gelten:
f(-1) = 2
bzw:
k*(-1+2)^2-3 = 2
k*(1)^2-3 = 2
k*1-3 = 2
k-3 = 2
k = 5
Und schon sind wir alle Parameter los, denn es gilt
f(x) = 5*(x+2)^2-3
Allerdings waren ja die Parameter a,b,c aus der Form f(x)=ax^2+bx+c gesucht.
Also multiplizieren wir zu guter Letzt noch aus:
f(x) = 5*(x+2)^2-3 = 5*(x^2+4x+4)-3 = 5x^2+20x+20-3 = 5x^2+20x+17
Damit ist a = 5, b = 20 und c = 17.
Ich hoffe das war verständlich! Viel Erfolg morgen!
TeXWizard