Liebe/-r Experte/-in,
Welche der folgenden Abbildungen sind Homo-,Iso- bzw. Automorphismen?
a) f1: (R²,+)->(R,+), f1(x,y) = 3x-4y
b) f1: (R²,+)->(R,+), f1(x,y) = 2+3x-4y
c) f1: (R²,+)->(R²,+), f1(x,y) = (y,y)
d) f1: (R²,+)->(R²,+) = f1 (x,y)= (2x+y,x-y)
Bestimmen Sie gegebenenfalls jeweils den Kern von f1
Komme mit dieser Aufgabe nicht richtig zurecht. Ich kenne zwar die Definitionen von Homo-, Iso-, und Automorphismen, aber ich weiß dass nicht auf die Aufgabe anzuwenden. Es wäre gut, wenn jemand so nett wäre und die a) mal als Beispiel vorrechnet, damit ich verstehe, wie das funktioniert
Hallo,
ein Homomorphismus von Vektorräumen ist eine linerare Abbildung,dh du musst schauen, ob die Bedingungen für lin Abb erfüllt sind. Das sind im Fall IR²:
f.a. u,v € IR², a € IR gilt: f1(u+v)=f1(u)+f1(v), außerdem f1(a*u)=a*f1(u).
So,schauen wir mal. Sei also u=(u1, u2) € IR², v=(v1, v2) auch, und a € IR.
f1(u+v)=f1(u1+v1, u2+v2)=3(u1+v1)-4(u2+v2)=3u1+3v1-4us-4v2=(3u1-4u2)+(3u2-4v2)=f1(u1,u2)+f1(v1,v2)=f1(u,v).
und: f1(a*u)=f1(a*u1, a*u2)=3*a*u1-4*a*u2=a(3u1-4u2)=a*f1(u1,u2)=a*f1(u). Ergo haben wir hier einen Homomorphismus.
Gut, machen wir weiter. Was bedeutet Isomorphismus? Das ist ein bijektiver Homomorphismus, dh er muss injektiv und surjektiv sein.
Beginnen wir mit injektiv. Du müsstest irgendwann mal gelernt haben, dass f1 injektiv ist kern(f1)={0} (Falls nicht, dann probier dich mal selber am Beweis. Die Hinrichtung folgt direkt aus der Injektivität und der Tatsache, dass bei linearen Abbildungen 0 immer auf 0 abgebildet wird, und bei der Rückrichtung musst du dir nur mal überlegen, was passiert, wenn du u und v hast, für die f1(u)=f1(v)gilt.)
Kern sind die Nullstellen der Funktion, ergo alle u € IR², für die f1(u)=f1(u1,u2)=3u1-4u2=0 ist. Das giltoffensichtlich nicht nur für (0,0), sondern beispielsweise auch für (4,3). Damit bist du fertig. Der Kern ist nicht gleich {0}, damit ist deine Funktion nicht injektiv, also auch nicht bijektiv, also auch kein Isomorphismus, also auch kein Automorphismus, aber ein Homomorphismus. Und jetzt viel Spaß mit den anderen Aufgaben
Es kann sich erstmal um keinen Automorphismus handeln, weil Automorphismus heißt bijektive Abbildung von (R2,+) in sich selbst, aber der Wertebereich ist (R,+).
Kannst du mir deine E-Mail-Adresse geben, dann kann ich dir meine Lösungen einscannen. Dann kann man es besser lesen, als wenn ichs eintippe.
Uhhh das ist schon einiges her als ich das letzte mal sowas gerechnet hab, bin da mir auch nicht mehr im klaren wie es gerechnet wird. Tut mir leid, kannst mir ja mal den Rechnenweg schicken falls du ihn mittlerweile hast. Hat mich doch irgendwie neugierig gemacht.
