… Wertetabelle erstellen.
Guten Tag!
Folgendes Problem:
Man hat eine Wertetabelle vorgegeben und soll mit diesen Werten eine Funktionsgleichung aufstellen.
8. Klasse.
Wie geht das nochmal?
Beispiel:
x -3/-2/-1/0/1/2/3
y -3/-1/ 1/3/5/7/9
Oberer und unterer Wert gehören jeweils zusammen. Formel ist y= mx + b. Lösung: y = 2x + 3. Wie ist der Lösungsweg?
Danke und Grüße
Hallo,
x -3/-2/-1/0/1/2/3
y -3/-1/ 1/3/5/7/9
y= mx + b. Lösung: y = 2x + 3.
Wie ist der Lösungsweg?
ANTWORT:
Wir haben hier eine Gleichung mit 2 Unbekannten:
m und b.
y= mx + b.
Für x und y haben wir jeweils 7 Werte (Tabelle), für 2 Unbekannte brauchen wir nur jeweils zwei Werte, der Rest ist Luxus.
Also, nehmen wir mal die ersten beiden Spalten aus der Tabelle und setzen die jeweiligen Werte in y= mx+ b ein. Wir erhalten zwei Gleichungen:
x -3/-2/-1/0/1/2/3
y -3/-1/ 1/3/5/7/9
(I) -3 = m*(-3) + b (1. Spalte: x=-3, y=-3)
(II) -1 = m*(-2) + b (2. Spalte: x=-2, y=-1)
Nun das Gleichungssystem lösen:
z.B.: Gleichung (II) mit -1 multiplizieren:
(I) -3 = m*(-3) + b
-(II) 1 = 2*m* - b
Gleichungen addieren:
Wir erhalten eine neue Gleichung (Unbekannte b ist eliminiert):
-2 = -m Gleichung mit -1 multiplizieren:
2 = m
Einsetzen in (I)
(I) -3 = 2*(-3) + b
-3 = -6 + b /+6
3 = b
Einsetzen in
y= 2x + 3
Fertig.
da du weißt dass es sich um eine lineare funktion handelt (y = mx+b)
kannst du je einen y-wert für y und x-wert für x einsetzen - diese prozedur 2 mal und dann das lineare gleichungssystem lösen
zb x=0,y=3
y = m x + b
I: 3 = m 0 + b
3 = b
y=-1,x=1
II: _ = m _ + b (now it’s your turn)
und dann m und b ausrechnen.
dabei wurde ganz stark verwendet dass es sich um eine funktion vom typ y = mx + b
bei anderen funktionen - funktioniert (
) dieses system ähnlich.
liegrü ε/2 (epsilonhalbe)
Hallo!
Eigentlich ganz einfach:
setze zwei Wertepaare in die Gleichung ein, also z.B.
x= -3 und y=-3: -3 = m*(-3) + b
x = -2 und y=-1: -1 = m*(-2) +b
Zwei Gleichung mit zwei Unbekannten müsste sich lösen lassen?
Viele Grüße,
Michael
Ich bin mir nicht ganz sicher ob es da nicht noch eine andere Möglichkeit gibt, aber hier einmal eine Lösung:
Nicht erschrecken, ich hab versucht es so ausführlich wie möglich zu schreiben.
Zuerst einmal Werte für x und y in die Gleichung einsetzen:
nehmen wir x=-3 und y=-3
also steht da:
-3 = m*(-3) + b
dann lösen wir nach b auf (ist in diesem fall am einfachsten, ich schreib die schritte mal hinter einem | dass du nachvollziehen kannst was ich gemacht hab)
-3 = -3m + b | +3m
3m -3 = b
also ist b = 3m -3
das setzen wir in die Gleichung " y=mx+b " ein.
y = mx+3m -3
Jetzt setzen wir einen anderen wert für x und y ein.
Das ist wichtig, denn sonst bekommt man zum schluß nur eine Wahre aussage ( -3 = -3 oder so ähnlich).
Nehmen wir gleich den nächsten (x=-2 und y=-1)
dann haben wir
-1 = m*(-2)+3m -3
-1 = -2m+3m -3
-1 = m -3 | +3
2 = m
also haben wir m=2
dann nehmen wir das m=2 und setzen es bei " b= 3m-3 "ein
b= 3*(2) - 3
b= 6-3
b= 3
und wir erhalten zusammen
y= 2m + 3
noch ein kleiner Hinweis. Bei solchen Funktionen wenn es einen Wert 0 gibt (hier bei x) dann sollte man den nehmen, dann spart man sich rechnerei.
in diesem Fall wäre es dann so gegangen:
3 = 2*(0) + b
3 = b
Ich hoffe ich konnte es einigermaßen gut erklären, falls noch fragen sind, gerne wieder.
Hallo,
vielen Dank für Ihre Mühe. Ich habe noch eine Frage, bzgl. der verkürzten Version, wenn es einen Wert 0 gibt. Wie sind Sie auf 2 für m gekommen? Dieser Wert ist ja gar nicht gegeben, sondern nur x = 0 und y= 3
Vielen Dank!!
"noch ein kleiner Hinweis. Bei solchen Funktionen wenn es einen
Wert 0 gibt (hier bei x) dann sollte man den nehmen, dann
spart man sich rechnerei.in diesem Fall wäre es dann so gegangen:
3 = 2*(0) + b
3 = bIch hoffe ich konnte es einigermaßen gut erklären, falls noch
fragen sind, gerne wieder.
Hallo Erin,
da die Gleichung lautet y = mx + b müssen auch die Wertepaare für x und y für diese Gleichung passen. m und b können durch Aufstellen von zwei Gleichungen bestimmt werden.
Wähle x = -3 und y = -3, dann ergibt sich die erste Gleichung -3 = m*(-3) + b (I)
Wähle ein zweites Paar, z.B. x = -2 und y = -1, dann ergibt sich die zweite Gleichung -1 = m*(-2) + b (II).
Zur Vereinfachung schreiben wir die beiden Gleichungen als Gleichungssystem untereinander:
-3 = -3m + b (I)
-1 = -2m + b (II)
Zieht man die beiden Gleichungen voneinander ab, dann ergibt sich eine neue Gleichung, in der das b wegfällt:
-2 = - m
Daraus ergibt sich m = 2. Dies setzt man in eine der beiden Gleichungen ein und kann dann b errechnen. Setzt man z.B. m = 2 in die erste Gleichung (I) ein, so hat man
-3 = (-3)*2 + b
Umgestellt nach b ergibt sich b = -3 + 6 und somit b = 3.
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit
y = 2x + 3.
Die Methode klappt auch, wenn Du zwei andere Wertepaare aus der Wertetabelle nimmst.
Hallo Erin,
du musst mit zwei Punkten m berechnen. m = (y2-y1)/(x2-x1). Dann fehlt noch b. Nun setzt du die Koordinaten eines Punktes in in die Gleichung ein und löst sie nach b auf. Das funktioniert immer.
Kittel
vielen Dank für Ihre Mühe. Ich habe noch eine Frage, bzgl. der
verkürzten Version, wenn es einen Wert 0 gibt. Wie sind Sie
auf 2 für m gekommen? Dieser Wert ist ja gar nicht gegeben,
sondern nur x = 0 und y= 3
Einfach wieder einen anderen wert für x und y nehmen und
selbstverständlich das b mit 3 ersetzen, da man es ja schon gelöst hat.
Beispiel:
nehmen wir x=-1 und y=1
dann haben wir
1 = -1*m+3 (da wir ja b schon aufgelöst haben)
1 =-1m+3 |-2
-2= -1m | *(-1)
2=m
OK?
Mann kommt meines Wissens nicht darum zwei verschiedene Werte einzusetzen. Am besten nimmt man dafür nicht die hohen werte (wie hier -3 und -3, oder 3 und 9) sondern was mit 1 oder 0, da man sich dadurch rechenarbeit spart.
Es gibt so sehr viele Lösungsmöglichkeiten, und ich weiß nicht so recht, für welche Du die Voraussetzung mitbringst.
Zeichnerisch ist alles klar: Du zeichnest die Punkte in ein Koordinatenkreuz ein, erkennst, dass sie alle auf einer Geraden liegen, zeichnest die Gerade, siehst, dass sie die y-Achse bei der 3 schneidet und hast somit bereits b=3 . Dann erhält man durch Einzeichnen eines beliebigen „Steigungsdreiecks“ und Ablesen von dessen Kathetenlängen und der Quotientenbildung aus der Länge der vertikalen Kathete und der horizontalen Kathete m=2.
Falls Du mit den Begriffen nichts anfangen kannst, wähle den rechnerischen Weg für die Bestimmung von m :
Wähle zwei beliebige Punkte (es waren Dir 7 Punkte vorgegeben) und verwende die Formel m=(Differenz der beiden y-Werte) geteilt durch (Differenz der beiden entsprechenden x-Werte). Nehme ich als Beispiel den ersten gegebenen und den letzten gegebenen Punkt, so lautet das Ergebnis m= (9-(-3))
3-(-3))= 12:6=2.
Überprüfe (zur Kontrolle) dass das bei allen anderen Puntepaaren auch hinhaut !
Ein anderer rein rechnerische Weg geht so:
Wähle einen beliebigen Punkt, zB (1/5) und dann noch den Punkt mit dem x-Wert 0, also (0/3).
Setze nun von beiden Punkten die Koordinaten , dh die x- und y-Werte in den Ansatz y=mx+b für x und y ein:
Daraus ergeben sich für (0/3) : 3=m*0+b, also b=3.
Und der Punkt (1/5) liefert : 5=m*1+b. Mit dem zuvor ermittelten b=3 erhältst Du: 5=m+3, also m=2.
Grüße von Max
x| -3|-2| -1| 0| 1| 2| 3|
y| -3|-1| 1| 3| 5| 7| 9|
y=mx+b
-
Wir berechnen die Steigung m = (y2-y1)/(x2-x1) für beliebige Punkte P(x1|y1) und Q(x2|y2), z.B.
P((0|3) und Q(1|5) m=(5-3)/(1-0)=2 -
Wir berechnen den y-Abschnitt b, indem wir in die Funktiongleichung die Koordinaten beliebiger Punkt einsetzen, z.B. P(0|3)
y=mx+b => 3=2.0+b => b=3 -
y = 2x + 3
Vielen Dank für Ihre Bemühungen!!!
Vielen Dank!!!
Vielen Dank für die hilfreiche Antwort!!
Herzlichen Dank!!
Vielen Dank!!!.
Besten Dank!!!
Vielen herzlichen Dank!!
Vielen herzlichen Dank!!.
Vielen herzlichen Dank!!..