Hallo
Ich beschäftige mich gerade mit der Potenzreihenentwicklung (habe vorher noch nie etwas davon gehört).
Mein erste Frage ist, ob und wie die Taylor-Entwicklung (Für was wird sie gebraucht?) und/oder die Mac Laurinsche Form (Für was wird sie gebraucht?) mit Formeln wie
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+… [x Element von R] oder
sin(x)=x-x^3/3!+… [x Element von R]
zusammenhängen.
Meine zweite Frage wäre dann, wie man auf solche Formeln kommt! Raten und Probieren?
Bestens Dank im Voraus
Rgds Phil
Fuer die meisten in der Praxis vorkommenden Funktionen kann man diese Potenzreihenentwicklung druchfuehren. Ich erspare Dir mathematische Details ueber Konvergenz dieser Reihen und komme direkt zum Punkt:
f(x) ist die Funktion, die entwickelt werden soll. Die Ableitungen sind f’(x), f’’(x), …
Um mir Schreibarbeit zu ersparen, entwickle ich um den Punkt x=0, es geht aber an jeder Stelle (MacLaurin = Taylor an der Stelle x=0!).
f(x)=f(0) + x*f’(0) + x^2/2!*f’’(0) + x^3/3!*f’’’(0) + …
Du musst also alle Ableitungen berechen, und zwar nur an einer einzigen Stelle x=0. 3! ist die Fakultät: 3! = 1*2*3, 4! = 1*2*3*4 etc.
Bsp: f(x)=e^x => f’(x)=e^x, f’(0)=1 etc.
e^x=1 + x + x^2/2 + x^3/6 +…
Bsp: f(x)=sin x => f’(0)=1, f’’(0)=0, …
sin x=x -x^3/3! + x^5/5! - …
Diese Reihenentwicklung gilt i.A. nicht in ganz R. Bei e^x und sin x aber schon.
Anwendung: Rate mal, wie Dein Taschenrechner/PC die e- bzw. sin-Funktion berechnet 
Gruss Semjon.
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Meine zweite Frage wäre dann, wie man auf solche Formeln
kommt! Raten und Probieren?Bestens Dank im Voraus
Rgds Phil
Ich versuche den Sachverhalt mal mit anderen Worten zu
beschreiben. Das Problem besteht darin, eine kompliziertere Funktion durch eine Einfachere anzunähern (Polynom).
Der erste Gedankengang ist relativ einfach: Man nehme einen Punkt, der von dieser Funktion bekannt ist, z.B. sin(x) bei x=0.
Wenn man nun diese Funktionen folgenderweise ersetzt:
f(x)=sin(x) durch T1(x)=0 (Polynom 0.Grades = Konstante)
erhält man eine Funktion, die in der Umgebung von x=0 näherungsweise der Sinusfunktion entspricht.
Bei x=0 sind die Werte insbesondere identisch.
Dies ist übrigens auch die erste Entwicklungsstufe der Taylorreihe. Nun soll die Genauigkeit in der Umgebung zunehmen. Im nächsten Schritt fordert man daher, dass nicht nur der Wert, sondern auch die erste Ableitung in diesem Punkt mit der Ersatzfunktion (Polynom 1.Grades = Gerade) übereinstimmt.
Das wäre in diesem Fall die Tangente T2(x)= f(0) +x f’(0) = x
Fordert man noch die Übereinstimmung der 2., 3. usw. Ableitung in diesem Punkt, so erhält man eine Taylorreihe. In diesem Fall
gilt: Tn(x) = sin(x) für n gegen unendlich für alle x aus R.
mfG
Frank
Hallo Phil,
ich will versuchen, Dir die vorgehensweise der Mathematiker ein wenig zu beschreiben:
Zunächst definiert man sich eine Funktion
exp(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3! u.s.w und beweist die Konvergenz dieser Reihe. Danach beweist man allgemeine Eigenschaften dieser Funktion und definiert e=exp(1)=1+1+1/2!+1/3!. Erst ganz zu Schluß beweist man die Übereinstimmung exp(x)=e^x.
Die Definition der Exponentialfunktion fällt dabei „etwas vom Himmel“ , wird aber hinterher durch den Beweis der Eigenschaften des ganzen gerechtfertigt. Aber diese Reihe hat von vorneherein sinnfällige Eigenschaften, so ist z.B. exp`(x)=exp(x). Differentialgleichungen dieses Typs findest Du in den Anfangsgründen aller Wissenschaften, die Mathematik verwenden , das sei als Motivation gesagt !
Ich wollte damit sagen, die Taylor-Entwicklung wird normalerweise nicht verwendet, um die e-Reihe zu begründen.Um eine Taylorentwicklung zu machen, muß man schon mehreres über die Funktion wissen !
Die Reihen von Sinus und Cosinus sind Teilreichen der komplexen e-Funktion(e^ix) und sind auch sinnfällig, wenn man den Eulerschen Satz e^ix=cos(x)+ i*sin(x) verwendet.
Ciao Franz
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