Mathematikaufgaben, Klasse 10 gym HILFE

Wissenschaft Physik
1

Hallo, ich muss bis do eine Wochenarbeit abgeben, leider fehlen mir 2 Aufgaben, die ich nicht schaffe zu lösen, könnt ihr mir vielleicht helfen? ist super wichtig.

Aufgabe 1.)
Was passiert, wenn man in der Gleichung a² + b² = c² an der Stelle der Quadrate die dritten Potenzen einsetzt: a³+b³=c³? In der geometrischen Interpretation bedeutet dies, dass man die Volumina von Würfeln mit den Seitenlängen a,b und c miteinander vergleicht.
a) Berechne zu a=3cm und b=4cm (a=5cm und b=12cm) die Seitenlänge c, so dass a³+b³=c³
b) kann ein pythagereisches Zahlentripel (a,b,c) gleichzeitig die Bedingung a³+b³=c³ erfüllen? Probiere es an verschiedenen Beispielen aus. Begründe

Aufgabe 2.)
Gibt es überhaupt ganzzahlige Lösungen für die Gleichung a³+b³=c³?
Bei der Suche nach pythagoreischen Zahlentripel haben wir eine anschauliche Hilfe benutzt: Wir suchten nach zwei quadraten, die zusammengelegt ein drittest Quadrat ergeben. Versuche es mit ähnlichen Strategien bei Würfeln. Am besten schreibst du dir die ersten 20 Kubikzahlen in einer Tapelle auf und versuchst es mit den Differenz solcher Zahlen… Im Beispiel ist es fast gelungen. Findest du ähnlich knappe ergebnisse?

2

Auch hallo.

Aufgabe 1.)
Was passiert, wenn man in der Gleichung a² + b² = :c² an der
Stelle der Quadrate die dritten Potenzen einsetzt: :a³+b³=c³?
In der geometrischen Interpretation bedeutet dies, :dass man
die Volumina von Würfeln mit den Seitenlängen a,b :und c
miteinander vergleicht.

Fehlt da nicht ein Hinweis von wg. Raumdiagonale ? War ja die Wurzel aus a^3+b^3+c^3…:wink:

a) Berechne zu a=3cm und b=4cm (a=5cm und b=12cm) :die
Seitenlänge c, so dass a³+b³=c³

a^3= 27 + 4^3=64, 3. Wurzel 81 = … = 4,32…

b) kann ein pythagereisches Zahlentripel (a,b,c) :gleichzeitig
die Bedingung a³+b³=c³ erfüllen? Probiere es an :verschiedenen
Beispielen aus. Begründe

Gilt also a^2+b^2-c^2 = a^3+b^3-c^3 ? Mit sehr speziellen Zahlen a,b,c könnte es gehen.

Aufgabe 2.)
Gibt es überhaupt ganzzahlige Lösungen für die :Gleichung
a³+b³=c³?

k.A.

Bei der Suche nach pythagoreischen Zahlentripel :haben wir eine
anschauliche Hilfe benutzt: Wir suchten nach zwei :quadraten,
die zusammengelegt ein drittest Quadrat ergeben. :Versuche es
mit ähnlichen Strategien bei Würfeln. Am besten :schreibst du
dir die ersten 20 Kubikzahlen in einer Tapelle auf :und
versuchst es mit den Differenz solcher Zahlen… Im :Beispiel
ist es fast gelungen. Findest du ähnlich knappe :ergebnisse?

Also mit dem Windows Taschenrechner sollte das wohl ganz einfach sein :wink:

mfg M.L.

3

Gibt es überhaupt ganzzahlige Lösungen für die Gleichung
a³+b³=c³?

ich hoffe nicht, daß das heißt, ihr sollt dafür einen Beweis o.ä. finden. Denn das ist eins der größten Probleme der Mathematik gewesen :wink:. Ein Teilbereich des Großen Satzes v. Fermat, der erst vor kurzer Zeit bewiesen wurde, und an dem sich die Mathematiker mehr als 300 Jahre lang die Zähne ausgebissen haben hehe. Euler hat es allerdings schon geschafft deinen „spezialfall“ für 3er-potenzen zu lösen. Allerdings ist der Beweis für die 10. Klasse auch viel zu kompliziert.

siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fer_fermatscher…

Grüße, Tom…

4

eine kleine Anekdote…
Hallo Anni,
Wie Tom bereits schrieb, handelt es sich hier um einen Spezialfall von „Fermat’s letztem Satz“:

Gibt es überhaupt ganzzahlige Lösungen für die Gleichung
a³+b³=c³?

Dass es diese Lösungen nicht gibt, hat Fermat „angeblich“ bewiesen, der Beweis ist allerdings nie gefunden worden: Fermat schrieb nämlich in seine Unterlagen: „Ich habe einen wunderbaren Beweis gefunden, jedoch ist der Platz hier zu schmal, um diesen zu fassen…“

Wenn dein Mathelehrer Humor hat, dann übernimm diesen Satz doch für deine Wochenarbeit…

Gruß Alex

5

Aufgabe 1
Hallo Anni.

Aufgabe 1.)
Was passiert, wenn man in der Gleichung a² + b² = c² an der
Stelle der Quadrate die dritten Potenzen einsetzt: a³+b³=c³?
In der geometrischen Interpretation bedeutet dies, dass man
die Volumina von Würfeln mit den Seitenlängen a,b und c
miteinander vergleicht.
a) Berechne zu a=3cm und b=4cm (a=5cm und b=12cm) die
Seitenlänge c, so dass a³+b³=c³

c = cur(a^3+b^3) = cur(91cm^3) = 4.49…cm
wobei cur (cubic root) die dritte Wurzel bezeichnet.

b) kann ein pythagereisches Zahlentripel (a,b,c) gleichzeitig
die Bedingung a³+b³=c³ erfüllen? Probiere es an verschiedenen
Beispielen aus. Begründe

a^3+b^3 = c^3 = c * c^2 = c * (a^2+b^2)

c = (a^3+b^3)/(a^+b^2) = a * [1+(b/a)^3] / [1+(b/a)^2]

Wir schreiben jetzt x=b/a, um die Schreibarbeit zu reduzieren. Durch Polynomdivision (falls ihr das schon hattet) oder durch Nachrechnen findet man

(x^3+1) / (x^2+1) = x + (1-x)/(1+x^2)

Damit folgt

c = b + (1-x)/(1+x^2)

Male Dir die Funktion y = (1-x)/(1+x^2) einmal auf. Du findest sofort

y(0) = 1 und y(1) = 0. Das sind also Kandidaten fuer ganzzahlige Loesungen. Fuer x>1 liegt y im Bereich -1 b=0 fuert auf eine korrekte Loesung.

x=1 b=a fuehrt auf

(i) c^2 = a^2+b^2 = 2a^2 => c/a = sqrt(2)
(ii) c^3 = a^3+b^3 = 2a^3 => c/a = cur(2)

wobei sqrt (square root) die zweite Wurzel bezeichnet. Offenbar sind (i) und (ii) wiederspruechlich.

Ergebnis: Alle Tripel (a, b=0, c) erfuellen beide Gleichungen. Das sind aber keine „vernuenftigen“ Loesungen. Weitere Loesungen kann es nicht geben.

Jetzt schreibe das in einen schoenen Text und fuehre alle Zwischenschritte sorgfaeltig aus.

Gruss,
klaus

6

Hallo,

Wie Tom bereits schrieb, handelt es sich hier um einen
Spezialfall von „Fermat’s letztem Satz“:

Gibt es überhaupt ganzzahlige Lösungen für die Gleichung
a³+b³=c³?

Dass es diese Lösungen nicht gibt, hat Fermat „angeblich“
bewiesen, der Beweis ist allerdings nie gefunden worden:
Fermat schrieb nämlich in seine Unterlagen: „Ich habe einen
wunderbaren Beweis gefunden, jedoch ist der Platz hier zu
schmal, um diesen zu fassen…“

Wenn dein Mathelehrer Humor hat, dann übernimm diesen Satz
doch für deine Wochenarbeit…

Oder: „siehe A. Wiles, Annals of Mathematics 141 (1995), 443-551“. Hey, das sind ja nur 8 Seite knallharte Mathematik :wink:

Grüße,
Moritz

7

ähhh…
Will ja nicht kleinlich sein, aber…

Oder: „siehe A. Wiles, Annals of Mathematics 141
(1995), 443-551“. Hey, das sind ja nur 8 Seite knallharte
Mathematik :wink:

um genau zu sein, sind es 108 Seiten knallharte Mathematik…

Aber ist ja schon spät :wink:

Gute Nacht allerseits…

8

Lustig!

Oder: „siehe A. Wiles, Annals of Mathematics 141
(1995), 443-551“. Hey, das sind ja nur 8 Seite knallharte
Mathematik :wink:

Grüße,
Moritz

Wer so ein Buch hat und überhaupt einmal angeschaut hat, der sollte 551-443 ausrechnen können.

Nichts für ungut…

Elmar

9

Wer so ein Buch hat und überhaupt einmal angeschaut hat, der
sollte 551-443 ausrechnen können.

Womit wir wieder beim Vorurteil wären, dass Mathematiker rechnen können. Wann hat ein Algebraiker schon mal mit dreistelligen Zahlen zu tun?

Gruß
m.

10

Hallo,

Wer so ein Buch hat und überhaupt einmal angeschaut hat, der
sollte 551-443 ausrechnen können.

Womit wir wieder beim Vorurteil wären, dass Mathematiker
rechnen können. Wann hat ein Algebraiker schon mal mit
dreistelligen Zahlen zu tun?

Noch interessanter wirds, wenn derjenige, der sich verrechnet hat, Moechtegernphysiker ist und nicht Mathematiker. Wenn der mal ne H-Bombe baut…

Gruesse,
Moritz

11

um genau zu sein, sind es 108 Seiten knallharte
Mathematik…

Um ganz genau zu sein, sind es sogar 109 :wink:

Gruß
Katharina (die sowas gerade mit ihren zwei Kids im Grundschulalter übt)