Hallo,
folgende Fragestellung in einer Mathe-Aufgabe:
Gibt es einen (möglichen)Steuersatz, bei dem folgende Aussage mathematisch richtig wäre:
10 % weniger Steruern bedeuten 20% mehr verfügbares (Netto-)Einkommen!
Wenn ja, wie hoch wäre dieser Steuersatz?
Durch einfaches Raten erhält man unverzüglich einen Steuersatz von 50%. Was mich nun aber interessiert ist, auf welchem Wege man mathematisch korrekt zur Lösung dieser Fragestellung kommt.
Gruß Joe
Prozente und Prozentpunkte
Hallo,
Gibt es einen (möglichen)Steuersatz, bei dem folgende Aussage
mathematisch richtig wäre:10 % weniger Steruern bedeuten 20% mehr verfügbares
(Netto-)Einkommen!
Wenn ja, wie hoch wäre dieser Steuersatz?
Ich will mal ganz genau sein, dann lautet die Antwort: „Nein, es gibt keine Lösung“. Dies liegt daran, dass zwischen dem, was du (vermutlich) meinst, und dem, was du tatsächlich sagst, eine Diskrepanz besteht. Bevor ich deine Frage (so wie du sie wohl gemeint hast) beantworte, werde ich zunächst mal die Diskrepanz erläutern:
Seien p1=50%(=0.5) und p2=40%(=0.4) die Steuersätze vor und nach der Steuersenkung, so wie in deiner Lösung angegeben. Dann beträgt die Differenz zwischen den Steuersätzen Δp=p1-p2=10%. Die prozentuale Steuersatzsenkung ist dann q=Δp/p1=20%. Die beiden Größen Δp und q beschreiben dieselbe Situation (Steuersenkung) auf zwei verschiedene Weisen. Um diese Weisen zu unterscheiden, ist man übereingekommen, bei der Größe Δp von Prozentpunkten zu sprechen. Man sagt also: „Der Steuersatz wurde um 10 Prozentpunkte gesenkt“, wenn Δp gemeint ist, und „Der Steuersatz wurde um 20 Prozent gesenkt“, wenn q gemeint ist. Dieselbe Unterscheidung gibt es bei den Wahlanalysen, wenn man sagt, die Partei xy habe so und so viele Prozentpunkte eingebüßt.
Nun aber zur eigentlichen Aufgabe.
Es seien B der Bruttolohn, p1 und p2 die Steuersätze vor und nach der Steuerreform und N1 bzw. N2 die Nettolöhne vor bzw. nach der Steuerreform. Dann gilt offenbar:
N1=B-p1*B=(1-p1)*B und
N2=B-p2*B=(1-p2)*B.
Durch die Steuersenkung erniedrigt sich der Steuersatz um Δp=10%=0.1, wodurch der Nettolohn um q=20%=0.2 steigt. In Formeln ausgedrückt:
p2=p1-Δp und
N2=N1+q*N1=(1+q)*N1.
Insgesamt haben wir die folgenden 4 Gleichungen (mit 5 Unbekannten):
N1=(1-p1)*B (1)
N2=(1-p2)*B (2)
p2=p1-Δp (3)
N2=(1+q)*N1 (4)
Durch geeignetes Umformen können jetzt Unbekannte eliminiert werden. Dazu setzen wir die Gleichungen (3) und (4) in die Gleichung (2) ein:
(1+q)*N1=(1-(p1-Δp))*B=(1-p1+Δp)*B, d.h
(1+q)*N1=(1-p1+Δp)*B (5)
Die beiden Gleichungen (1) und (5) enthalten jetzt nur noch 3 Unbekannte. Als nächstes wird (1) in (5) eingesetzt:
(1+q)*(1-p1)*B=(1-p1+Δp)*B (6)
Das B in der Gleichung (6) gibt die Höhe des Bruttolohns an und ist somit realistischerweise von Null verschieden. Wegen B≠0 folgt also aus (6):
(1+q)*(1-p1)=(1-p1+Δp) (7)
Gleichung (7) braucht jetzt nur noch nach p1 aufgelöst zu werden:
(1+q)*1-(1+q)*p1=(1+Δp)-p1, d.h.
(1+q)-(1+Δp)=(1+q)*p1-p1, d.h.
q-Δp=q*p1 (8)
Jetzt müssen die Fälle q=0 und q≠0 unterschieden werden. Für q=0 folgt Δp=0. Für q≠0 darf durch q dividiert werden, also
p1=1-Δp/q (9)
Gleichung (9) gibt die Lösung des Problems für B≠0 und q≠0 an.
Wenn man nun die Werte Δp=0.1 und q=0.2 einsetzt, kommt gerade das von dir durch Raten hervorgesagte Ergebnis heraus:
p1=1-0.1/0.2=1-0.5=0.5=50%.
Viele Grüße
Jens
Danke! o.T.
…