Mathematische modellierung optimierungsprogramm

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:
Ein Erzeugnis kann mittels zweier verschiedener Verfahren aus drei Komponenten K1, K2, K3 hergestellt werden. Die drei Komponenten stehen nur in beschränkter Menge zur Verfügung. Die
folgende Tabelle zeigt die Verbrauchskoeffizienten, d.h. den Bedarf an K1, K2, K3 zur Herstellung einer Mengeneinheit des Endproduktes, sowie die maximal verfügbaren Mengen von K1, K2, K3.
Komponenten Verfahren 1 Verfahren 2 verfügbare Mengen
K1 1 3 24
K2 5 7 64
K3 2 1 22
Wieviel Mengeneinheiten vom Endprodukt soll nach jedem der beiden Verfahren erzeugt werden,um insgesamt eine möglichst große Menge von dem Endprodukt zu produzieren?
(a) Formulieren Sie das zugehörige Optimierungsprogramm.
(b) Bestimmen Sie die Lösung graphisch.
© Bestimmen Sie die Lösung rechnerisch.

Tja, wo soll ich da anfangen? Ich habe zunächst ein lin. Gleichungssystem aufgestellt:
I x1 + 5x2 + 2x3 = 1
II 3x1 + 7x2 + x3 = 1

Dann habe ich in I x1 ausgerechnet, x1 in II eingesetzt, x2, x1 in I eingesetzt und x3 = 0 rausbekommen. Hä?

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, ob das Sinn macht?!?!?

Zu b) ist das richtig, dass die Aufgabe in 3-dimensionalen Raum gezeichnet werden muss?

was bedeutet optimierungsprogramm?

kann mir bitte jemand helfen? danke schon mal im voraus!

#2

Hallo,

du musst das ganze nicht im 3-dimensionalen betrachten. Ich habe zum Beispiel folgende Gleichungen verwendet:
v1 / v2 … Anzahl der im Verfahren 1/2 hergestellten Produkte
k1 / k2 / k3 … Anzahl der benötigten Komponenten
k1 = v1 + 3v2
k2 = 5v1 + 7v2
k3 = 2v1 + v2
Wenn wir die Gleichungen nach v1 umstellen und die Höchstwerte der Komponenten einsetzen erhalten wir folgendes:
v1 = 24 - 3v2
v1 = (64 - 7v2) / 5
v1 = (22 - v2) / 2
Diese Gleichungen bilden nicht unbedingt ein Gleichungssystem, da ja auch Komponenten übrig bleiben können. Vielmehr kann man sie so interpretieren: Betrachtet man die Komponente 1 und stellt im Verfahren 2 v2 Produkte her, so kann man noch v1 Produkte im Verfahren 1 herstellen.
Diese Funktionen v1(v2) kannst du in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnen.
Die Anzahl der tatsächlich herstellbaren Produkte unabhängig von der Komponente ist dann die Summe von v2 und dem Minimum der komponentenabhängigen Funktionen v1, die du schon in deinem Koordinatensystem hast. Diese Funktion kannst du auch in dein Koordinatensystem zeichnen. Dann siehst du schon, dass diese Funktion ein Maximum hat. Nämlich bei v2=2 und vges=12. Das ist dann auch die Lösung. Also 10 Produkte mit Verfahren 1 und 2 mit Verfahren 2.
Rechnerisch lässt sich das durch Zerlegung der vges-Funktion und jeweils Bestimmen der Maxima ermitteln.
Was ein Optimierungsprogramm ist, weiß ich auch nicht.

Nico

#3

Ich denke, dass wohl die Optimierungsaufgabe gemeint ist. Das Ganze ergibt ein lineares Ungleichungssystem 3. (Anzahl der beschränkten Komponenten) Ordnung mit einer Optimierungsfunktion (max Output), die man numerisch mit Simplex oder auch grafisch in einem zwei(= Anzahl der Verfahren)dimensionalen Koordinatensystem lösen kann.

Ciao, Allesquatsch