diesmal kann ich die Aufgabe lösen, weiß aber nicht wie ich es aufschreibe… Kann mir da jemand helfen?
Aufgabe: Sei G=(X,#) eine Gruppe mit neutralem Element e. Beweisen Sie folgende Aussage: Enthält G eine Gerade Anzahl von Elementen, so existiert ein g element G, g ungleich e mit g#g=e.
Lösung: Das heißt ja nichts weiter als g ist invers zu sich selbst, würde es in der Gruppe kein g geben, das invers zu sich selbst ist, dann wäre jedem g ein anderes Element zugeordnet, das das Inverse ist. Das heißt pro g gibt es dann ein Inverses, was immer eine gerade Anzahl Elemente bedeutet. Dann kommt noch das e dazu, also 2n+1, die Gruppe hat eine ungerade Anzahl von Elementen, sie soll aber eine gerade haben. Es muss ein g geben, das invers zu sich ist.
diesmal kann ich die Aufgabe lösen, weiß aber nicht wie ich es
aufschreibe…
genau so, wie Du es getan hast. Es ist absolut zulässig, einen mathematischen Beweis mit gewöhnlichem Text zu verfassen, und es gibt auch keine Unter- und Obergrenze für die Anzahl von Formeln, die darin vorkommen müssen. Das einzige Kriterium, das ein Beweis erfüllen muss, ist eine logisch folgerichtige Argumentationskette ohne irgendwelche Schlupflöcher – wenn er diesbezüglich keine Zweifel läßt, dann ist es immer ein vollwertiger, „echter“ Beweis!
Aufgabe: Sei G=(X,#) eine Gruppe mit neutralem Element e.
Beweisen Sie folgende Aussage: Enthält G eine Gerade Anzahl
von Elementen, so existiert ein g element G, g ungleich e mit
g#g=e.
Lösung: Das heißt ja nichts weiter als g ist invers zu sich
selbst, würde es in der Gruppe kein g geben, das invers zu
sich selbst ist, dann wäre jedem g ein anderes Element
zugeordnet, das das Inverse ist. Das heißt pro g gibt es dann
ein Inverses, was immer eine gerade Anzahl Elemente bedeutet.
Dann kommt noch das e dazu, also 2n+1, die Gruppe hat eine
ungerade Anzahl von Elementen, sie soll aber eine gerade
haben. Es muss ein g geben, das invers zu sich ist.
Find ich völlig OK so. Vielleicht solltest Du noch ein Wort darüber verlieren, dass Fälle wie „a ist invers zu b, b ist invers zu c, c ist invers zu a“, also „Dreier (Vierer-, Fünfer-, …)ketten“ hinsichtlich der Ist-invers-zu-Beziehung nicht auftreten können (sondern dass diese Beziehung wegen (g–1)–1 = g stets nur Element-Paare induziert).
Ich glaube Dein Beweis ist lückenhaft, und zwar die folgende Aussage: „Das heißt pro g gibt es dann
ein Inverses, was immer eine gerade Anzahl Elemente bedeutet.“
Gegenbsp:
G={e,g1,g2,g3}
g1^-1=g2
g2^-1=g3
g3^-1=g1
Folglich müssen auch noch andere Gruppen-Eigenschaften verwendet werden.
Zweitens:
Einer meiner Übungsgruppenleiter hat seinerzeit zu einem solchen „Textbeweis“ geschrieben, dass er keine Prosa will. Auch wenn das durchaus logisch sein kann, hilft ein formaler Beweis durchaus, z.B. solche Fehler wie oben zu vermeiden.
Drittens:
Wenn’s eine abelsche Gruppe wäre, sähe ein „Formelbeweis“ so aus:
ich glaube dein Ansatz ist hier nicht ganz richtig:
Erstens:
Ich glaube Dein Beweis ist lückenhaft, und zwar die folgende
Aussage: „Das heißt pro g gibt es dann
ein Inverses, was immer eine gerade Anzahl Elemente bedeutet.“
Diese Aussage kann gar nicht falsch sein, weil das Inverse per Definition eindeutig ist, das heißt entweder ist ein Element zu sich selbst Invers, dann hat es aber keinen anderes Inverses oder (der Fall war meine Annahme) es ist nicht zu sich selbst invers, dann hat es aber per Gruppendefinition genau ein anderes Inverses und das gilt für jedes Element, also immer gerade Anzahl( außer das Neutrale, das hatte ich ja rausgenommen…).
Da kann man doch dann keine Gegenbeispiele finden…
diesmal kann ich die Aufgabe lösen, weiß aber nicht wie ich es
aufschreibe…
genau so, wie Du es getan hast. Es ist absolut zulässig,
einen mathematischen Beweis mit gewöhnlichem Text zu
verfassen, und es gibt auch keine Unter- und Obergrenze für
die Anzahl von Formeln, die darin vorkommen müssen. Das
einzige Kriterium, das ein Beweis erfüllen muss, ist eine
logisch folgerichtige Argumentationskette ohne irgendwelche
Schlupflöcher – wenn er diesbezüglich keine Zweifel läßt, dann
ist es immer ein vollwertiger, „echter“ Beweis!
stimme völlig zu.
allenfalls hat ein gewisser formelapparat den vorteil internationaler verständlichkeit. (dafür verstehen dann die nicht-mathematiker nix mehr.) dürfte hier aber nicht sehr relevant sein.
ich denke nur, dass Du in dem Satz nicht das Argument exakt aufgeschrieben hast, das Du verwendest.
Hier noch ein Bsp., wo Du „unexakt“ bist:
Diese Aussage kann gar nicht falsch sein, weil das Inverse per
Definition eindeutig ist,
Die Gruppenaxiome definieren (!) nicht die Eindeutigkeit, sondern nur die Existenz: Zu jedem Gruppenelement a existiert ein Element a^−1 mit a*a^{-1} = a^{-1}*a = e
Die Eindeutigkeit ist eine Folgerung - keine Definition!
Das hab ich jetzt auch nochmal aus den Gehirnwindungen gequetscht, aber DU wirst es vermutlich kennen.
Beweis:
Angenommen es gäbe 2 versch. inverse Element zu a genannt b und c
=> bc
=> a*b a*c
=> e e (Anmerkung1)
Widerspruch
Anmerkung1: Mal vorausgesetzt, Du hast schon bewiesen, dass das 1-Element eindeutig ist, ansonsten Beweis: angenommen e1,e2 2 versch. Einselemente => e1e2 => e2*e1 e2 (weil e2 Einselement gilt e1=e2*e1) => e2 e2 (weil e1 Einselement gilt e2*e1 =e2) Wid.
Für mich ist eigentlich die Schlussfolgerung aus diesem Thread, dass ein Sinn, das „in Formeln“ aufzuschreiben ist, zu lernen, präzise zu formulieren. In späteren Vorlesungen wirst Du nicht drumherum kommen und früh übt sich…