Hallo,
hab mal eine Frage.
Überall lese ich nur, das der Kreis gegenüber dem Rechteck bei gleichem Umfang eine größere Fläche hat.
Ich suche einen Mathematischen Beweis für diese Tatsache, möglichst auch mit einer Begründung, warum das so ist.
Da ich kein MatheAss bin, bitte keine allzu komplizierten Erklärungen.
Danke im voraus.
MfG Christian
Hi!
Also, ich versuch es jetzt mal zu beweisen *g*
Korrigiert mich, wenn es falsch ist.
Nehmen wir mal ein Quadrat (du meinst doch ein Quadrat und nicht nur ein Rechteck oder?) an mit einer Länge von jeweils 2cm.
Gesamtlänge (Umfang): 8cm
Umfang Kreis = 2*Pi*R mit R=Radius
Also muss 2*Pi*R = 8cm sein -> R = etwa 1,27cm
Fläche Quadrat = 2*2cm = 4qcm
Fläche Kreis = Pi*®^2 = 5,1qcm etwa
5,1qcm > 4qcm
q.e.d.
Gruß,
Steffie
die berechnung ist mir schon klar.
ich suche eine berechnung, möglichst mit verständlicher begründung, der für alle fälle geht.
würde auch gern wissen, warum der klächeninhalt eines kreises gegenüber eines quadrates (oder rechteckes) bei gleichem umfang größer ist.
das es so ist, ist mir klar. aber warum?
Hi!
OK, dasgleiche nochmal in Allgemein.
Gegeben:
Quadrat mit 4 Seiten der Länge a.
Umfang Quadrat: 4*a
Kreis mit Umfang U soll gleich Umfang Quadrat sein
also: 4*a = 2 * PI* R
Also Umfang: 2*a = PI * R
R = 2*a / Pi
Fläche Quadrat: a²
Fläche Kreis: PI * R² = (2*a / Pi)² * Pi
Fläche Quadrat
hey,
danke Steffi.
das ist prima.
kannst mir noch sagen, warum das so ist?
wieso ist der flächeninhalt größer im kreis? hat das was mit pi zu tun?
ich frage, weil mich ein bekannter danach fragte, nur wenn ich da mit mathematischen formeln komme, winkt er gleich ab.
LG Christian
Hallo,
ich versuche es ein wenig allgemeiner als Steffie:
Zu beweisen ist:
FQ(U1)K(U1)
(Fläche eines Quadrats mit dem Umfang U1 ist kleiner als die Fläche eines Kreises mit dem Umfang U1)
Fläche eines Quadrats:
FQ(U)=a2
UQ=4*a --> a=UQ/4
-> FQ(U)=U2/16
Fläche eines Kreises:
FK(U)=PI*r2
UK=2*PI*r --> r=UK/(2*PI)
-> FK(U)=U2/(4*PI)
Da 4*PI
hey,
danke.
kannst mir noch sagen, wieso das so ist?
wieso ist der flächeninhalt größer im kreis? wegen pi?
ein bekannter fragte mich, und ich will ihm das einfach erklären.
den beweis wollte ich dann nur mal wissen.
MfG Christian
Hi!
Ja es liegt an Pi.
Vielleicht findest du hier eine Antwort:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis_%28Geometrie%29#N…
Gruß,
Steffie
kannst mir noch sagen, wieso das so ist?
Ist halt so. 
Man kann Pi z.B. als Verhältnis von Umfang und Durchmesser beim Kries sehen: U = d * Pi -> Pi = U / d
Das Verhältnis ist also immer Pi, also 3,1415…
Beim Quadrat gilt ja U = 4 a sowie d = a * Wurzel(2). Daraus folgt dann:
U = 4 * (d / Wurzel(2)) und damit ist 4 / Wurzel(2) = U / d.
Hier ist das Verhältnis von Unfang zu Durchmesser als immer 4 / Wurzel(2), das ist gekürzt 2 * Wurzel(2) = 2,828…
Und da 2,828… immer kleiner ist als 3,1415 ist das auch immer so.
Aber ob das nun verständlicher war…
Die richtige Lösung für deinen Bekannten lautet: Der Kreis hat nach den Maßstäben deines Bekannten keinen Flächeninhalt. Deshalb kann er auf seine Frage keine Antwort bekommen. Du mußt ihm also leider abwinken.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Der Beweis besteht aus zwei Teilen:
Zuerst beweist man, daß bei gegebenem Umfang unter allen Rechtecken das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.
Dann beweist man, daß bei gegebenem Umfang der Kreis einen größeren Flächeninhalt als das Quadrat hat. Damit ist dann bewiesen, daß der Kreis einen größeren Flächeninhalt hat als ein beliebiges Rechteck mit dem gleichen Umfang.
Beweis Teil 1):
Gegeben sei ein Quadrat mit der Seitenlänge a. Es hat den Flächeninhalt A=a*a und den Umfang 4*a.
Nun bemühen wir die sogenannte EPSILONtik und machen folgende Operation:
Wir verlängern eine Seite a des Quadrates um eine winzige, unendlich kleine Längeneinheit e (= EPSILON), die aber größer als 0 ist, und nehmen gleichzeitig an, daß der gegebene Umfang u=4*a dabei gleichbleiben soll:
4*a=2*((a+e)+b)
2*a=a+e+b
a-e=b
Die zweite Seitenlänge des Quadrates verändert sich dabei deshalb auf a-e.
Der Flächeninhalt des Rechteckes beträgt nun (a+e)*(a-e)
= a*a - e*e
= A - e*e und das ist 0 ist wegen der Voraussetzung e > 0.
Beweis Teil 2):
Das Quadrat hat den Flächeninhalt A = a*a und den Umfang u = 4*a.
Ein Kreis hat immer einen Radius. Dieser sei r. Der Umfang des Kreises ist dann u = 2*PI*r. Laut Voraussetzung ist dieser Umfang gleich dem Umfang des Quadrates = 4*a.
Daraus folgt 4*a = 2*PI*r
r=2*a/PI
Der Flächeninhalt des Kreises ist nun
= PI*r*r
= PI*(2*a/PI)*(2*a/PI)
= 4*a*a/PI = (4/PI)*(a*a) und das ist
> a*a = A (Flächeninhalt des Quadrates),
weil 4>:stuck_out_tongue_winking_eye:I ist und damit 4/PI>1.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Christian,
ich verstehe deine Frage nicht wirklich. Du hast sie auch Steffie gestellt und ich glaube, dass auch ihre Antwort nicht die Antwort ist, die du suchst. Die Mathematik (bzw. der Beweis) zeigt eigentlich, daß der Kreis eine grössere Fläche umspannt, als das Quadrat bei gleichem Umfang. Warum , das kann wahrscheinlich nur Gott sagen. Wir leben in einer Rundwelt, da werden runde Dinge bevorzugt… Wie man PI dafür verantwortlich machen kann, ist mir ein Rätsel… Pi ist auch nur eine Zahl.
Vielleicht braucht dein Bekannter auch eine „einfache“ Erklärung. Das ist einfacher mit dem Volumen zu beantworten. Es ist nämlich auch so, dass das Volumen einer Kugel grösser als das Volumen eines Würfels bei gleicher Oberfläche ist. Oder anders (aber mit derselben Konsequenz): Eine Kugel hat eine kleinere Oberfläche als ein Würfel bei gleichem Volumen. Anschaulich lässt sich das anhand eines Luftballons zeigen: Wenn man eine bestimmte Menge Luft hineingepustet hat, so nimmt der Luftballon etwa eine Kugelform an. Es vermeidet so gut als möglich „Ecken“. Das rührt daher, dass der Luftballon versucht zu vermeiden, dass seine Oberfläche grösser wird. Würde es Würfel- oder Quaderform annehmen, müsste es seine Oberfläche weiter vergrössern!
Das Problem mit dieser Erklärung ist nur, dass es zumindest zum Teil eine Lüge ist: Ein Luftballon weiss nicht wirklich, was es will, deshalb vermeidet es nichts und es strebt mit Sicherheit nichts an. Aber gravierender wiegt wahrscheinlich, dass die Form des Luftballons weit mehr Einfluss auf seine aufgepustete Form hat, als die geometrischen Gedanken, die hier gemacht wurden… naja, Lügen für Bekannte halt… 
War das jetzt, das was du gesucht hast?
Gruss, Omar Abo-Namous
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
hey omar,
danke, das klang prima.
werd versuchen, es ihm mal damit zu erklären.
MfG
Christian
Ein Luftballon weiss nicht wirklich,
was es will, deshalb vermeidet es nichts und es strebt mit
Sicherheit nichts an.
Ich glaub das unterschätzt du den Luftballon.
Der ist nämlich total faul und hat überhaupt keinen Bock Oberflächenarbeit zu leisten. Er strebt die energetisch günstigsten Zustand an. Und das ist, wenn der Gummi überall gleich ist und keine äusseren Kräfte wirken die Kugel.
Gruss
Mit dieser Erklärung tust Du Deinem Bekannten keinen Gefallen.
Die Form des Luftballons im aufgeblasenen Zustand ist das Ergebnis eines Kräftegleichgewichts zwischen unendlich vielen winzigen Komponenten (Materialspannung zwischen Molekülen und Druckverhältnisse innerhalb und außerhalb des Ballons). Beim Luftballon hängt die Form außerdem noch von der Gummivorlage ab - nicht immer ergibt sich eine Kugel. Eine schöne Kugel ergibt sich meist bei der Seifenblase. Aber warum die Seifenblase eine Kugel wird, kann man nur über integrative Berechnungen zu Oberflächenspannung und Druck herleiten. Dabei wird man nicht ohne Formeln auskommen. Auf keinen Fall kann man mit dem Hinweis auf das Verhalten von Luftballons wirklich plausibel machen oder gar beweisen, daß bei gegebenem Umfang der Kreis einen größeren Flächeninhalt hat als irgendein Rechteck. Bei derartigen Analogien zur Erklärung handelt es sich um Scheinbeweise, die weniger wert sind als gar keine Erklärung. Es handelt sich faktisch um invertierte Denksysteme, die in der Praxis zu Abstürzen, Explosionen, Zusammenbrüchen etc. führen.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]