Matritzenaufgabe mit Platzhalter

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo,
ich habe bei der folgenden Aufgabe Probleme:

Bestimmen Sie alle Werte des Parameters p\in \mathbb{R}, für die die Matrix A_{P} bzw. B_{P} invertierbar ist, mit

A_{P}=\begin{pmatrix}2 & 0 & p\ 0 & p & -1\ 1 & -1 & p\end{pmatrix} und B_{P}=\begin{pmatrix}p & p & 1\ p & 1 & 1\ p & 1 & 1\end{pmatrix}

Mein Ansatz war jetzt erstmal, dass ich beide Matrizen mittels Laplace in eine „Determinaten-Form“ bringe. Dabei bekomme ich für
det(A_{P})=2\cdot det\begin{pmatrix} p & -1 \ -1 & p \end{pmatrix} + det\begin{pmatrix} 0 & p \ p & -1 \end{pmatrix}

und

det(B_{P})=p\cdot det\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} - p \cdot det\begin{pmatrix} p & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} + det\begin{pmatrix} p & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}

Was ich zusätzlich weiß ist, dass eine Matrix dann invertierbar, wenn die Determinante nicht 0 ist.

Naja, soweit bin ich jetzt und komme nicht weiter. Ich habe für p einige Zahlen eingesetzt, daraus bin ich aber auch nicht wirklich schlauer geworden.

Ich bin für jeden Lösungstipp dankbar und danke schon jetzt für jede Antwort.

Mit freundlichen Grüßen

G-Fire

2

moin;

du kannst die Determinante natürlich so umformen.
Dies ist aber gar nicht nötig, denn die Determinante ist über die verschiedenen Index-Permutationen definiert, bei 3x3-Matrizen können wir einfach die Sarrussche Regel verwenden.

Daraus folgt:
|Ap|=2p²-2-p²=p²-2 sowie
|Bp|=p²+2p-p²-2p=0

mfG

P.S.: Allen die über diesen Artikel stolpern, wünsche ich auf diesem Wege ein schönes neues Jahr =)

3

Vielen Dank für Deine Antwort!

Daraus folgt:
|Ap|=2p²-2-p²=p²-2 sowie
|Bp|=p²+2p-p²-2p=0

ist das dann schon meine Lösung?

P.S.: Allen die über diesen Artikel stolpern, wünsche ich auf
diesem Wege ein schönes neues Jahr =)

Ganz vergessen; von mir natürlich auch ein guten Rutsch bzw. ein erfolgreiches 2010.

4

Jup, setze das Polynom in p auf Null, löse nach p auf und du bekommst die p für die die Determinanten der Matrizen Null sind. Das bedeutet dann dass für diese Werte von p die Matrizen nicht invertierbar sind.

5

Hallo,

|Bp|=p²+2p-p²-2p=0

alternativ: sehen, dass die zweite Zeile von B gleich der dritten ist, oder die erste Spalte ein Vielfaches (nämlich das p-fache) der dritten Spalte. Aus „irgendwelche Spaltenvektoren linear voneinander abhängig“ folgt sofort Determinante = 0, und dito für Zeilenvektoren.

(Man könnte die drei Elemente in der zweiten Spalte von B sogar durch beliebige (!) andere ersetzen, die Matrix bliebe stets singulär, sofern man die übrigen sechs Elemente unangetastet lässt. Dasselbe entsprechend für die Elemente der ersten Zeile.)

Gruß
Martin