Hallo allerseits!
Wie kann ich, wenn ich nur eine Matrix und ihre Quadratische Form habe, möglichst leicht ihre Definitheit bestimmen? (Die Eigenwerte sind im konkreten Fall komplexe Zahlen)
Hallo,
Wie kann ich, wenn ich nur eine Matrix und ihre Quadratische
Form habe, möglichst leicht ihre Definitheit bestimmen? (Die
Eigenwerte sind im konkreten Fall komplexe Zahlen)
gar nicht. Das ist ein kompliziertes numerisches Problem, zum einen die Diagonalisierung der Matrix und zum anderen die Entscheidung, ob eine genaehrte Zahl nur einem sehr kleinen Wert oder tatsaechlich der Null entspricht.
Ein einfacher Algorithmus ist, die Matrix A zu einer reellen symmetrischen zu machen, indem Du mit der adjungierten (komplex konjugiert und transponiert) multiplizierst. Darauf dann die Dreieckszerlegung anwenden, d.h. die Dreiecksmatrix B in
A* A= Bt B bestimmen (eine einfache Iteration ueber die Zeilen mit der Quadratwurzel als kompliziertester Operation). Waehrend des Rechnens, an den Diagonaleintraegen von B, laesst sich die Definitheit ablesen.
Ciao Lutz