Matrix-Normen und LU-Zerlegung

Hallo liebe wer-weiss-was-Mitglieder!

Ich stehe gerade vor 2 Aufgaben, die mir Kopfzerbrechen bereiten und bei denen ich irgendwie mit den Tips, die ich von den Tutoren erhalten habe nichts anfangen kann und daher irgendwie etwas auf dem Schlauch stehe.

Zur ersten Aufgabe: Hier geht es grundsätzlich um die LR-/LU-Zerlegung einer strikt diagonaldominanten Matrix ohne Pivotisierung. Man soll zeigen, dass der Algorithmus der LU-Zerlegung für solche Bedingungen nicht abbricht.

Die Assistentin sagte uns, dass es reicht wenn wir eine zweite Matrix betrachten, bei der die erste Zeile unverändert bleibt und in der ersten Spalte ab der zweiten Zeile alles Nullen stehen.

Die restlichen Elemente berechnen sich folgendermassen:
\overline{a_{ij}} = a_{ij} - \frac{a_{i1}}{a_{11}}a_{1j}

wobei a-quer die neuen Elemente sind und i, j = 2,…,n.

Beim Block der a-quer müssen wir nun zeigen, dass dieser wieder strikt diagonaldominant ist, das würde dann reichen, also dass folgende Gleichung erfüllt ist:
\sum_{k\not=j=2}^{n}\overline{a_{kj}} \leq … \leq \sum_{k\not=j=1}^{n}a_{kj} - a_{k1} + \frac{a_{k1}}{a_{11}}(\sum_{j=2}^{n}a_{1j}-a_{1k}) \leq …

wobei es unsere Aufgabe ist die … zu berechnen, also die Schritte da drin zu tätigen. Ich muss allerdings sagen, dass ich keinen Ansatz habe, wie ich da vorgehen soll! Ein kleiner Anstubser wäre sehr nett!

Soo, zum zweiten Problem! Hier geht es um Matrixnormen!
Wir wissen ja die Definition der Matrixnorm über das Supremum also
|A|_p = sup \frac{|Ax|}{|x|}
mit x aus R^n.

Nun soll gezeigt werden, dass daraus die Definition der Spaltensummennorm folgt für p = 1 und für p = unendlich folgt die Zeilensummennorm.

Auch hier bin ich wirklich überfragt!

Puh, ganz viel Text, ich hoffe jemand kann mir da behilflich sein!

Besten Dank und Gruss
Palandrion

Ah, also Problem 2 hat sich jetzt schon fast ergeben, ich konnte den Knopf irgendwie öffnen.

Für p = unendlich hat alles gut geklappt, aber für p = 1 fehlt mir noch die Abschätzung von oben, ich habe bis jetzt nur die Abschätzung von unten hinbekommen.

Bei Problem 1 stehe ich allerdings immernoch auf dem Schlauch…

Gruss
Palandrion

Hi !

Sagen wir mal A ist eine mxn-Matrix.
Man definiert zuerst
M:=\max\limits_j\ \sum\limits_{i=1}^m\mid a_{ij}\mid
also die maximale Spaltensumme.

\frac{\Vert Ax\Vert_1}{\Vert x\Vert_1}=\frac{\sum\limits_{i=1}^m\mid\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j\mid}{\sum\limits_{j=1}^n\mid x_j\mid}\leq\frac{\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n \mid a_{ij}x_j\mid}{\sum\limits_{j=1}^n\mid x_j\mid}=\frac{\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^m \mid a_{ij}x_j\mid}{\sum\limits_{j=1}^n\mid x_j\mid}
=\frac{\sum\limits_{j=1}^n\mid x_j\mid\sum\limits_{i=1}^m \mid a_{ij}\mid}{\sum\limits_{j=1}^n\mid x_j\mid}\leq\frac{\sum\limits_{j=1}^n\mid x_j\mid M}{\sum\limits_{j=1}^n\mid x_j\mid}=M\ \ \forall x\in\mathbb{R}^n

Daraus folgt also

\Vert A\Vert_1\leq M

Jetzt muss man noch zeigen, dass es einen Vektor x gibt, bei dem das Supremum angenommen wird. Sei dazu j0 die Spalte von A mit maximaler Spaltensumme und e der j0-te Einheitsvektor. Dann gilt

\frac{\sum\limits_{i=1}^m\mid\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}e_j\mid}{\sum\limits_{j=1}^n\mid e_j\mid}=\sum\limits_{i=1}^m \mid a_{ij_0}\mid=M

nach Definition von M.
Daraus folgt

\Vert A\Vert_1=M

Gruß

hendrik

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