Hallo liebe wer-weiss-was-Mitglieder!
Ich stehe gerade vor 2 Aufgaben, die mir Kopfzerbrechen bereiten und bei denen ich irgendwie mit den Tips, die ich von den Tutoren erhalten habe nichts anfangen kann und daher irgendwie etwas auf dem Schlauch stehe.
Zur ersten Aufgabe: Hier geht es grundsätzlich um die LR-/LU-Zerlegung einer strikt diagonaldominanten Matrix ohne Pivotisierung. Man soll zeigen, dass der Algorithmus der LU-Zerlegung für solche Bedingungen nicht abbricht.
Die Assistentin sagte uns, dass es reicht wenn wir eine zweite Matrix betrachten, bei der die erste Zeile unverändert bleibt und in der ersten Spalte ab der zweiten Zeile alles Nullen stehen.
Die restlichen Elemente berechnen sich folgendermassen:
\overline{a_{ij}} = a_{ij} - \frac{a_{i1}}{a_{11}}a_{1j}
wobei a-quer die neuen Elemente sind und i, j = 2,…,n.
Beim Block der a-quer müssen wir nun zeigen, dass dieser wieder strikt diagonaldominant ist, das würde dann reichen, also dass folgende Gleichung erfüllt ist:
\sum_{k\not=j=2}^{n}\overline{a_{kj}} \leq … \leq \sum_{k\not=j=1}^{n}a_{kj} - a_{k1} + \frac{a_{k1}}{a_{11}}(\sum_{j=2}^{n}a_{1j}-a_{1k}) \leq …
wobei es unsere Aufgabe ist die … zu berechnen, also die Schritte da drin zu tätigen. Ich muss allerdings sagen, dass ich keinen Ansatz habe, wie ich da vorgehen soll! Ein kleiner Anstubser wäre sehr nett!
Soo, zum zweiten Problem! Hier geht es um Matrixnormen!
Wir wissen ja die Definition der Matrixnorm über das Supremum also
|A|_p = sup \frac{|Ax|}{|x|}
mit x aus R^n.
Nun soll gezeigt werden, dass daraus die Definition der Spaltensummennorm folgt für p = 1 und für p = unendlich folgt die Zeilensummennorm.
Auch hier bin ich wirklich überfragt!
Puh, ganz viel Text, ich hoffe jemand kann mir da behilflich sein!
Besten Dank und Gruss
Palandrion