Wie man 3x3 oder 4x4 Matrizen invertiert weiß ich.
Aber wozu macht man das?
Gruß JK
Wie man 3x3 oder 4x4 Matrizen invertiert weiß ich.
Aber wozu macht man das?
Hi !
Stell dir vor du hast die Gleichung 2x=6. Was machst du um x rauszukriegen ? Du teilst durch 2 und erhälst x=3.
Jetzt stell dir vor du hast die Gleichung
\ \begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}17\39\end{pmatrix}
Was machst du jetzt ? Durch eine Matrix teilen kann man nicht, stattdessen invertiert man die Matrix und multipliziert die Gleichung auf beiden Seiten von links mit der Inversen.
In diesem Fall ist die Inverse
-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}
Multiplikation von links ergibt
\ \begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}x=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2 \ -3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}17\39\end{pmatrix}
also
x=\begin{pmatrix}5\6\end{pmatrix}
Dieses Verfahren geht natürlich allgemein, also bei einer Gleichung
Ax=b
mit einer vorgegebenen invertierbaren Matrix A und einem Vektor b. Wenn du von links mit der Inversen multiplizerst erhälst du die Lösung
x=A-1b
Die Invertierung ist sozusagen der Ersatz für die nicht mögliche Division durch Matrizen.
Gruß
hendrik
Hallo
Mal einfach ausgedrückt: Man braucht dass, wenn man durch Matrizen „teilen“ will.
Mit gewöhnlichen Zahlen geht das ja genau so: Wenn ich durch x teilen will, dann kann ich auch zuerst das Inverse, nämlich 1/x, bilden und dann damit multiplizieren.
Weil es bei Matrizen keinen sinnvollen Weg gibt, um direkt zu teilen, geht man immer den „Umweg“ über die inverse Matrix.
Johannes
Weil es bei Matrizen keinen sinnvollen Weg gibt, um direkt zu
teilen, geht man immer den „Umweg“ über die inverse Matrix.
Na das „immer“ will ich jetzt mal nicht so stehen lassen. Man kann schon „teilen“, ohne die Inverse aufzustellen. Stichwort z.B. Gaußverfahren/LU-Zerlegung, Singulärwertzerlegung oder all die iterativen Lösungsverfahren.
Bei etwas größeren Matrizen ist Inversion wegen ihrer numerischen Eigenschaften/Kosten eigentlich eher ein schlechter Weg zur Lösung.
Grüße,
Sebastian
Danke! Hab’s verstanden.
Gruß aus Südhessen
JK