Hallo
ich wollte mich mal erkundigen wie man eine Matrix umgekehrt. Also wie bekomme ich von einer Matrix A das A^-1.
Ich habe da was noch im Hinterkopf weiß aber nicht ab dies richtig ist.
(Es interessieren nur 2x2 Matrizen
Wenn dieses nun eine Matrix ist:
(38 75)
(91 23)
daraus würde ich jetzt irgendwie
(23 -75)
(-91 38) machen.
Also a1 und b2 vertauschen und ein Vorzeichenwechsel für a2 und b1
(a1 a2) ( b2 -a2)
(b1 b2) ==> (-b1 a1)
Auch hallo.
ich wollte mich mal erkundigen wie man eine Matrix umgekehrt.
Man sagt auch „Invertieren“.
Also wie bekomme ich von einer Matrix A das A^-1.
Wenn dieses nun eine Matrix ist:
(38 75)
(91 23)
daraus würde ich jetzt irgendwie
(23 -75)
(-91 38) machen.
Wird die Bedinung A * A^-1 = I erfüllt ? (I = Einheitsmatrix)
Wenn ja: gut
Wenn nein: schlecht
Im letzten Fall kann man ein einfaches Manöver zum Bestimmen einer Inversen anwenden:
1 ( 23 -75)
----- ( )
Det(A)(-91 38)
Sprich: 1 durch die Determinante der Matrix A. Elemente der Hauptdiagonale zyklisch miteinander vertauschen, restliche Elemente mal minus Eins (wie es fast gezeigt wurde).
HTH
mfg M.L.
Es gibt noch eine Methode, dabei wird der Satz von Cayley Hamilton verwendet. Dabei rechnet man zuerst das characteristische Polynom aus und multipliziert dann entsprechend mit der inversen Matrix, bis diese alleine stehen bleibt. Geht natürlich nur bei Matrizen, wo der Satz von CH anwendbar ist!
ich wollte mich mal erkundigen wie man eine Matrix umgekehrt.
Also wie bekomme ich von einer Matrix A das A^-1.
Eine weitere Möglichkeit ist, schlicht die n linearen Gleichungssysteme
A x (k) = e (k) (k = 1, …, n)
e (k) := der k-te Einheitsvektor = (0, …, 0, 1, 0, … 0) mit der „1“ an der k-ten Position
beispielsweise mit dem Verfahren von Gauß zu lösen. Dann bekommst Du mit den x (k) naturgemäß die Spaltenvektoren von A–1.
(Es interessieren nur 2x2 Matrizen
In diesem Fall ist die Sache kurz und schmerzlos erledigt:
( a11 a12 )
A := ( )
( a21 a22 )
→ D := det(A) = a11 a22 - a12 a21
A ist genau dann regulär wenn D ≠ 0
und dann ist die zu A inverse Matrix A<sup>–1</sup> gegeben durch
1 ( a22 –a12 )
A<sup>–1</sup> = --- ( )
D ( –a21 a11 )
Beweis durch direktes Nachrechnen. Fertig.
Gruß
Martin