Let S be the sum vector of order n. Show that the two matrices 1/n(*s*s’) and I-[(1/n)(*s*s’)] are idempotent. Find their rank.
Gibt es irgendwelche Vorschläge hierzu? Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte.
Hi,
was ist ein „sum vector“? Wie habt ihr „idempotent“ definiert? Was passiert, wenn Du die Matrizen in die Definition von „idempotent“ einsetzt und so weit wie möglich vereinfachst?
Beachte, dass s’*s ein Skalar ist, nämlich das Normquadrat von s.
Gruß Lutz
Let S be the sum vector of order n. Show that the two matrices
1/n(*s*s’) and I-[(1/n)(*s*s’)] are idempotent. Find their
rank.
Hallo,
es reicht, wenn du zeigst, dass die erste Matrix idempotent ist, denn angenommen A ist idempotent und B=I-A. Dann gilt
B2x=(I-A)2x=(I-2A+A2)x=x-2Ax+A2x=x-2Ax+Ax=x-Ax=(I-A)x=Bx.
Zum Rang von A: Das dyadische Produkt eines Vektors mit sich selbst hat immer Rang 1.
Zum Rang von B: Es gilt B=I-A, also B+A=I. Daraus folgt
n=rang(I)=rang(B+A)≤rang(B)+rang(A)=rang(B)+1,
also
rang(B)≥n-1
B kann natürlich maximal Rang n haben, also hat B entweder Rang n oder n-1. Nach Sylvesters Rangungleichung gilt
rang(A)+rang(B)-n≤rang(AB).
Da A idempotent ist, gilt
ABx=A(I-A)x=(A-A2)x=Ax-A2x=Ax-Ax=0 für alle x.
Das bedeutet AB=0 und damit rang(AB)=0. Daraus folgt aus Sylvesters Rangungleichung
rang(B)≤n-rang(A)-rang(AB)=n-1.
Also hat B Rang n-1.
Gruß
hendrik
Das bedeutet AB=0 und damit rang(AB)=0. Daraus folgt aus
Sylvesters Rangungleichung
rang(B)≤n-rang(A)-rang(AB)=n-1.
Es müsste natürlich heißen
rang(B)≤n-rang(A)+rang(AB)=n-1.
Gruß
hendrik