hallo ihr mathe-freaks,
ich hab da ein kleines problem bei einer matrizengleichung:
A * X * A^-1 = B (in worten: A mal X mal A hoch minus eins gleich B)
diese soll nach X aufgelöst werden.
meine vermutung ist: X = A^-1 * B * A
ich bin mir aber nich ganz sicher.
???
wer kann helfen?
Hallo hyperstoned,
Deine Antwort ist richtig, mal die Invertierbarkeit der Matrizen vorausgesetzt.
Warum dies so ist, wird klar, wenn Du beide Seiten der Gleichung von links mit A^-1 und von rechts mit A multiplizierst:
A^-1 * A * X * A^-1 * A = A^-1 * B * A
übersichtlich geklammert:
(A^-1 * A) * X * (A^-1 * A) = A^-1 * B * A
und in den Klammern ausgerechnet (I = Identität)
I * X * I = A^-1 * B * A
mit I * X = X * I = X
folgt
X = A^-1 * B * A
Fertig!
Gruß
Ted
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi!
Hier noch ein ekleine Anmerkung.
Warum dies so ist, wird klar, wenn Du beide Seiten der
Gleichung von links mit A^-1 und von rechts mit A
multiplizierst:
Dabei ist es wichtig, da"s man *von links* oder *von rechts* multipliziert,
also bei einer Matrixgleichung auf beiden Seiten von der gleichen Seite
multipliziert, weil die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, also im
allgemeinen A*B ungleich B*A ist.
A^-1 * A * X * A^-1 * A = A^-1 * B * A
übersichtlich geklammert:
Das darf man, weil die Matrixmultiplikation assoziativ ist. Das bedeutet, da"s
man ein Produkt beliebig umklammern darf. Achtung, das ist aber eetwas anderes,
als die reihenfolge der Faktoren zu ver"andern. So ist etwa (A*B)*C = A*(B*C)
aber "ublicherweise ungleich (B*A)*C.
(A^-1 * A) * X * (A^-1 * A) = A^-1 * B * A
Mausi:smile: