Maximalwert Berechnung

Wissenschaft Mathematik
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Hallo Leute.

Kann mir jemand ganz einfach(für Idioten) die Maximalwert Berechnung erklären?

In Bezug auf Bsp.: Berechne denn Mindest umfang eines geschlossenen Kanals dessen Querschnit aus einem Rechteck mit aufgesetzten Halbkreis besteht, wenn die Querschnitsoberfläche 5m² betragen soll.

Ich weiß ich muss
U=r*Pi+2rh für den Umfang haben
{r = Radius} und
Ao=0,5*Pi*r+h*2r für die Oberfläche
und h ersetzen aber wie?..

Irgendwie in h fließen die 5m² Oberfläche ein und der gestalt kann man das lösen.
Ich hab aber absolut keine Ahnung.

Am besten würde mir helfen wenn mir das jemand ganz klar und Haarfein erklärt.
frei nach dem Motto Angel und Fisch

Danke schon mal.

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Hallo,

ich versuch’s mal mit der Angel…

(A) Du hast eine Hauptbedingung (in Form einer Gleichung), in der soll irgendwas minimal oder maximal werden. In dieser Gleichung kommen idR einige Unbekannte vor.

(B) Durch verschiedene Nebenbedingungen können weitere Gleichungen aufgestellt werden, welche die Unbekannten miteinander in Beziehung setzen. Damit erhälst Du die Möglichkeit, alle Unbekannten in der Hauptbedingung durch eine einzige verbleibende Unbekannte zu ersetzen.

© Die Hauptbedingung lässt sich nun nach dieser verbliebenen Unbekannten ableiten. Die Nullstellen der Ableitung zeigen, für welchen Wert der Unbekannten die Hauptbedingung extrem (also minimal oder maximal) ist.

(D) Also Nullsetzen der Ableitung und auflösen nach der Unbekannten. Dann kennst Du den Wert der Unbekannten, an dem die Hauptbedingung extrem ist.

(E) Die Werte der anderen unbekannten bekommst du durch einsetzen in die Nebenbedingungen, genauso natürlich auch den (extremen) Wert der Hauptbedingung.

So, jetzt am konkreten Beispiel:

(A) Deine Hauptbedingung ist (was soll extrem werden?): „Der Umfang“

 U = Pi\*r + 2\*(h\*r)

Da sind 2 Unbekannte drin: „r“ und „h“. Wir baruchen also eine Nebenbedingung. Die ist auch in der Aufgabe angegeben:

(B) Deine Nebenbedingung ist: „Die Querschnittsfläche“

 F = 5m²
 Pi\*r² + 2\*r\*h = 5

daraus folgt durch Umformen:

 h = 5/(2\*r) - Pi\*r/2

Einsetzen von h aus (B) in (A)

 U = Pi\*r + 2\*(h\*r) ==\>
 U = Pi\*r + 2\*([5/(2\*r) - Pi\*r/2]\*r)

vereinfachen:

 U = Pi\*r + 2\*([5/2 - Pi\*r^2/2])
 U = Pi\*r + 5 - Pi\*r^2

© Diese Funktion lässt sich ableiten(hier nach r; ist ja die einzige Variable hier):

 U' = Pi - 2\*Pi\*r

(D) Nullsetzen der Ableitung und auflösen (nach r natürlich):

 U' = 0
 Pi - 2\*Pi\*r = 0

auflösen ergibt:

 Pi = 2\*Pi\*r
 1 = 2\*r
 1/2 = r

Fertig. Bei DIESEM Wert von r ist der Umfang minimal und gleichzeitig die Fläche 5m².

(E) Die anderen Unbekannten ausrechnen (hier nur h):

In (B) hatten wir den Zusammenhang h = 5/(2*r) - Pi*r/2

Also r = 1/2 einsetzen und vereinfachen:

 h = 5/(2\*[1/2]) - Pi\*[1/2]/2
 h = 5 - Pi/4

So, jetzt hast du r und h. Du kannst nun noch ausrechnen, WIE GROSS der Umfang denn nun ist (einsetzen):

 U = Pi\* r + 2\*( h \* r ) 
 U = Pi\*[1/2] + 2\*([5-Pi/4]\*[1/2]) 
 U = Pi/2 + 5-Pi/4
 U = Pi/4 + 5

Und man kann auch nochmal gegenrechnen, ob für die gefundenen Werte von r und h die Fläche auch wirklich 5 ist (wieder einsetzen):

 F = Pi\* r ² + 2\* r \* h 
 F = Pi\*[1/2]² + 2\*[1/2]\*[5-Pi/4]
 F = Pi/4 + 5-Pi/4
 F = 5

Juhu! Passt!

LG
Jochen

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hi,

In Bezug auf Bsp.: Berechne denn Mindestumfang eines
geschlossenen Kanals dessen Querschnit aus einem Rechteck mit
aufgesetzten Halbkreis besteht, wenn die Querschnitsoberfläche
5m² betragen soll.

Ich weiß ich muss
U=r*Pi+2rh für den Umfang haben
{r = Radius} und
Ao=0,5*Pi*r+h*2r für die Oberfläche
und h ersetzen aber wie?..

ich versuchs ein bisschen anders als Jo.

du hast eine zielfunktion, die zu maximieren (oder zu minimieren, zu optimieren) ist. in deinem fall geht es um den umfang. wie groß muss der mindestens sein? (diese zielfunktion nennt man auch „hauptbedigung“; es handelt sich aber eigentlich nicht um eine „bedingung“.)

diese zielfunktion hast du: es handelt sich um den umfang eines rechtecks mit ausfgesetztem halbkreis; das ist
U = r*Pi + 2r + 2h
wobei h die höhe des rechtecks ist und 2r die breite.

das maximum (oder minimum, oder optimum) wird im prinzip dort erreicht, wo die ableitung gleich 0 ist:
U’ = 0

das problem ist: du hast 2 variablen: r und h. das ist eine variable zu viel. also musst du die eine variable durch die andere ausdrücken. dazu dienen die zusätzlichen informationen; man nennt sie auch „nebenbedingung“.

du weißt: 2rh + r^2 * pi/2 = 5

also: 2rh = 5 - r^2 * pi/2
bzw.: h = 5/2r - r * pi/4

also insgesamt (das in die zielfunktion einsetzen):

U = r*Pi + 2r + 2 (5/2r - r * pi/4) =
= r*pi + 2r + 5/r - r * pi/2 =
= r*(2 + pi/2) + 5*r^(-1)

also:
U’ = (2 + pi/2) - 5 * r^(-2) = 0
also:
2 + pi/2 = 5 * r^(-2)

r^2 = 5 /(2 + pi/2)
r = Wurzel(5 /(2 + pi/2)) = 1,1833207…

h = 5/2r - r * pi/4 = 1,1833207…

und der dazugehörige umfang U = 8,450794432

also:
h = r

und das könnte man natürlich auch allgemein herleiten.
hth
m.

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hi,

U = Pi*r + 2*(h*r)

das teile ich nicht. das kann keine umfangsformel sein, denn (h*r) ist eine fläche.

U = Pi*r + 2h + 2r

(der halbkreisbogen, die beiden rechteckhöhen und die rechteckbasis.)

m.

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Hallo,

Du hast Recht!

U = Pi*r + 2*(h*r)

muss natürlich heißen:

 U = Pi\*r + 2\*(h **+** r)

Danke & Gruß
Jochen

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Danke michael jetzt hab ich es, glaub ich, begriffen ^^.

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Danke Jo mit michael’s und deiner Erläuterung zusammen hab ich das jetzt begriffen ^^.