haben hier eine übungsaufgabe um uns auf die klausur vorzubereiten. kann jemand helfen!
Mit vier gleichlangen stangen mit einer gesamtlänge von 6m soll ein zelt in pyramidenform mit quadratischer grundfläche und möglichst großem volumen aufgestellt werden.
a.) welche abmessung hat die höhe h, die grundseite der quadratischen grundfläche a; wie groß ist das maximale volumen mit v = 1/3 a² * h
b.) Handelt es sich um ein absolutes Maximum (Begründung)?
wie und was muss ich da machen. wäre lieb wenn mir das mal jemand durchmacht und ich mir das dann anschauen kann! danke schonmal
Mit vier gleichlangen stangen mit einer gesamtlänge von 6m
soll ein zelt in pyramidenform mit quadratischer grundfläche
und möglichst großem volumen aufgestellt werden.
ok.
a.) welche abmessung hat die höhe h, die grundseite der
quadratischen grundfläche a; wie groß ist das maximale volumen
mit v = 1/3 a² * h
Du hast also die Volumenformel in Abhängigkeit der Kantenlänge und Höhe. Du weißt, dass die vier Stangen von jeweils 1,5 m Länge (6/4 = 3/2 m) sowohl recht steil, als auch flacher aufgestellt werden können. Vermutlich wird sich das Volumen dabei ändern, denn es ändern sich a und h.
Du musst Dir also eine Formel überlegen, die a und h z.B. in Abhängigkeit vom Winkel der Stangen gegen den Boden darstellt. Diese Abhängigkeit baust Du in die Volumenformel ein und dann … ja, wie findet man heraus, ob eine Gleichung irgendwo ein Maximum hat? Und was ist ein absolutes Maximum im Gegensatz zu einem relativen Maximum? Da musst Du eigentlich nur die Definition anschauen und sehen, dass Du schon fertig bist.
Tip: Die Länge lieber als echten Bruch (3/2) m und nicht als Dezimalbruch (1,5 m) einsetzen. Dann bekommst Du eine übersichtlichere Gleichung.
Das ist eine nicht besonders anspruchsvolle Null-acht-fuffzehn-Extremwertaufgabe.
Mit vier gleichlangen stangen mit einer gesamtlänge von 6m
soll ein zelt in pyramidenform mit quadratischer grundfläche
und möglichst großem volumen aufgestellt werden.
a.) welche abmessung hat die höhe h, die grundseite der
quadratischen grundfläche a; wie groß ist das maximale volumen
mit v = 1/3 a² * h
M := Mittelpunkt des Grundflächenquadrats
E := eines der Grundflächenquadrat-Eckpunkte
S := Pyramidenspitze
|SM| = Pyramidenhöhe h
|SE| = Stangenlänge L (konstant)
|ME| = d
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(1) d = 1/2 √2 a („halbe Quadratdiagonale“)
(2) L2 = h2 + d2 (Pythagoras; S, M und E bilden rechtwinkliges Dreieck)
(3) V = 1/3 a2 h (Pyramidenvolumen = 1/3 Grundfläche mal Höhe)
(4) V extremal ⇔ dV/dh = 0
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