Hallo,
weiß jemand wie man aus den Maxwell-Gleichungen auf das Faradysche Induktionsgesetz kommt?
Außerdem würde mich mal interessieren wie man aus den den Max. Gleichungen auf die Wellengleichung für el-mag. Wellen kommt.
Gruß
OLIVER
Hallo Oliver,
weiß jemand wie man aus den Maxwell-Gleichungen auf das
Faradysche Induktionsgesetz kommt?
überhaupt nicht, da eine der Maxwell-Gleichungen (aufgeschrieben in Integralform) bereits das Faradasche Induktionsgesetz ist , und zwar
S[C] E> * dl> = –d/dt SS[A] B> * nA> dA
„S“ = Integral, „*“ = Skalarprodukt, „>“ = Vektorpfeil
Der linken Seite „S[C] E> * dl>“ hat man nun den Namen „Elektrische Spannung U“ gegeben (bisweilen findet man auch die Bezeichnung „Elektromotorische Kraft“), und „SS[A] B> * nA> dA“ nennt man „magnetischen Fluß Phi“.
Also darfst Du auch schreiben:
U = –d/dt Phi
mit U := S[C] E> * dl>
Phi := SS[A] B> * nA> dA
Außerdem würde mich mal interessieren wie man aus den den Max.
Gleichungen auf die Wellengleichung für el-mag. Wellen kommt.
Wenn man das etwas allgemeiner machen will (Wellen in inhomogenen, anisotropen Medien), wird’s zu umfangreich als das ich das hier posten kann. Am geringsten ist der Rechenaufwand, wenn Du Dich auf den Spezialfall „Vakuum“ beschränkst. Im Vakuum verschwinden die Ladungsdichte rho und die Stromdichte j>. Wenn Du Dir die dementsprechenden Maxwellgleichungen (in Differentialform) hinschreibst und dann für E> und B> „Ebene-Wellen-Ansätze“ machst gemäß E> = E0> e^(i(k>*r> - omega t), B> = analog, wirst Du feststellen, daß diese E>- und B>-Felder tatsächlich die Maxwellgleichungen lösen.
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Maxwell-Gleichungen
weiß jemand wie man aus den Maxwell-Gleichungen auf das
Faradysche Induktionsgesetz kommt?
Die 2. Maxwellgleichung ist das Induktionsgesetz 
Außerdem würde mich mal interessieren wie man aus den den Max.
Gleichungen auf die Wellengleichung für el-mag. Wellen kommt.
Die Maxwellgleichungen sind ja Differentialgleichungen… und die Wellengleichungen sind Lösungen von eben diesen.
Bei geeigneter Schreibweise kann man die Wellengl. auch einfach durch Umrechnen aus der 1. und 2. Maxwellgl. herausholen.
Gruß
Metapher
Hallo Martin,
danke erstmal für die Antworten!
Außerdem würde mich mal interessieren wie man aus den den Max.
Gleichungen auf die Wellengleichung für el-mag. Wellen kommt.Wenn man das etwas allgemeiner machen will (Wellen in
inhomogenen, anisotropen Medien), wird’s zu umfangreich als
das ich das hier posten kann. Am geringsten ist der
Rechenaufwand, wenn Du Dich auf den Spezialfall „Vakuum“
beschränkst. Im Vakuum verschwinden die Ladungsdichte rho und
die Stromdichte j>. Wenn Du Dir die dementsprechenden
Maxwellgleichungen (in Differentialform) hinschreibst und dann
für E> und B> „Ebene-Wellen-Ansätze“ machst gemäß E>
= E0> e^(i(k>*r> - omega t), B> = analog, wirst Du
feststellen, daß diese E>- und B>-Felder tatsächlich die
Maxwellgleichungen lösen.
Ich wollte eigentlich wissen wie man ausgehend von den Maxwell-Gleichungen auf die WellenGLEICHUNG kommt, also auf eine Gleichung der Form:
(laplace)f=1/v²*d²f/dt²
Ja, klar soll das ganze im Vakuum stattfinden. Die 4 Maxwellgleichungen sind ja in der Rohfassung keine Wellengleichungen, mich würde halt interessieren, wie man sie verknüpfen muss, um auf die Wellengleichung zu kommen.
hoffe jetzt wars verständlich
Gruß
OLIVER
Nochmal hi Oliver,
(laplace)f=1/v²*d²f/dt²
ach so, das willst Du haben.
Ja, klar soll das ganze im Vakuum stattfinden.
OK, für den Spezialfall Vakuum (rho = 0, j> = 0>:wink: lauten die Maxwellgleichungen
div E> = 0 (1)
div B> = 0 (2)
rot E> = –d/dt B> (3)
rot B> = (1/c^2) d/dt E> (4)
(wobei die Zeitableitungen hier partielle Ableitungen sind)
Schon jetzt kannst Du anhand der Symmetrie der Gleichungen erkennen, daß E> und B> „gleichberechtigt“ sind (Tip: Schraube mal aus Spaß E> und B> zu einem komplexen Feld G> := E> + icB> zusammen, formuliere die Maxwellgleichungen rein mit G>, und staune über das „coole“ Ergebnis 
).
Wir fragen uns, ob es möglich ist, B> aus (1)…(4) zu eliminieren. Wir erkennen, daß dies gehen müßte, wenn wir „rot(2)“ und d/dt(4) bilden:
Einerseits gilt:
rot rot E> = -d/dt B> = -(1/c^2) d^2/dt^2 E>
Andererseits gilt aber auch:
rot rot E> = grad div E> – delta E> = -delta E>
Also gilt
-(1/c^2) d^2/dt^2 E> = -delta E>
Wir schreiben das in der Form „alle E>s links und Null rechts“:
(1/c^2) d^2/dt^2 E> - delta E> = 0>
oder als Operatorgleichung:
((1/c^2) d^2/dt^2 - delta) E> = 0>
oder
quabla E> = 0> mit quabla := (1/c^2) d^2/dt^2 - delta
Der Operator „(1/c^2) d^2/dt^2 - delta“ heißt „Quabla“, „Box“ oder „d’Alembert-Operator“.
Und da steht Deine Wellengleichung. Was noch bleibt, ist nochmal von vorne anzufangen, jetzt aber B> zu eliminieren. Ergebnis wie erwartet (wegen der Symmetrie von (1)…(4)):
quabla B> = 0>
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo Martin,
ja danke genau diese Herléitung hatte ich gesucht! Weißt du auch wie man aus den Maxwellgleichungen herausbekommt, daß el-mag in Vakuum transcersal sind?
Gruß
OLIVER
Hallo Martin,
ja danke genau diese Herléitung hatte ich gesucht! Weißt du auch wie man aus den Maxwellgleichungen herausbekommt, daß el-mag in Vakuum transcersal sind?
Gruß
OLIVER
Hi Oliver,
auch wie man aus den Maxwellgleichungen herausbekommt, daß
el-mag in Vakuum transcersal sind?
wenn Du o. B. d. A. etwa als x-Richtung gerade die Richtung Deines E>-Vektors definierst, kannst Du für das E>-Feld diesen Ebene-Wellen-Ansatz machen:
E> = E0 cos(k>*r> – omega t) ex>
wobei omega = c k (omega = Kreisfrequenz, k> = Wellenvektor)
Mit Hilfe von „rot E> = –d/dt B>“ rechnest Du jetzt aus, wie groß B> ist. Dazu mußt Du wegen dem „rot“ einmal räumlich ableiten und wegen dem „d/dt“ einmal zeitlich hochintegrieren, was aber gar nicht schlimm ist. Du kriegst heraus:
B> = (1/c) (k>/k) X E> („X“ = Vektorprodukt-Kreuz)
Damit weißt Du jetzt schon, daß B> senkrecht auf E> und k> steht. Zusammen mit der von mir schon erwähnten „Gleichberechtigung“ (bis auf den Faktor ic) von E> und B> im Vakuum ist das schon ein (sehr starker) Hinweis darauf, daß es in der el.mag. Welle transversal zugeht.
Was zu zeigen übrigbleibt, ist, daß E0> senkrecht auf k> steht. Daß dem so sein muß, erzählt Dir die Maxwellgleichung „div E> = 0“ (das nachzuprüfen überlasse ich Dir).
Nun weißt Du, daß E>, B> und k> paarweise senkrecht aufeinander stehen, und das bedeutet, daß die el.mag. Wellen Transversalwellen sind.
Mit freundlichem Gruß
Martin