Maxwell-Gleichung

Wissenschaft Physik
#1

Hallo

Wissen tu ich, was die Aussagen sind, nur hätte ich ein paar Fragen zu der mathematischen Darstellung in differentieller Form:
Es gilt:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

E ist ein Vektor. Des Weiteren gilt:

\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}

Soa, jetzt meine Frage: F sollte doch ein Vektor sein, der in in x, y und z Richtung zeigt (Dreidimensionaler Raum). Dementsprechend sollte doch auch sein:

\vec{F} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}

Sollte dann Nabla F nicht irgendwie so aussehen?

\frac{\partial}{\partial x}F_x

  • \frac{\partial}{\partial y}F_y+ \frac{\partial}{\partial z}F_z

Und Nabla q geht ja nicht, da es ein Skalar und keine Vektorfeld ist. Und wie um alles in der Welt kommt man jetzt von

\frac{\frac{\partial}{\partial x}F_x

  • \frac{\partial}{\partial y}F_y+ \frac{\partial}{\partial z}F_z}{q}

auf

\frac{q}{V} \cdot \frac{1}{\varepsilon_0}
?
Wie gesagt, bin noch nicht so bewandert was Vektoranalysis angeht und musste mir das Meiste im Internet raussuchen und/oder meine Lehrer befragen. Hab ich das Prinzip überhaupt verstnaden?
Vielen Dank
Grüße
hahihu

#2

Hallo,

Und wie um alles in der Welt kommt man jetzt von […]

garnicht! Es gibt kein fundamentaleres Prinzip (*), aus dem man die Maxwell-Gleichungen herleiten kann, denn sie gehören selbst zu den first principles unserer Welt. Genau wie F = m a oder die Schrödingergleichung der Quantenmechanik oder die Einsteinschen Feldgleichungen der ART.

Wie gesagt, bin noch nicht so bewandert was Vektoranalysis angeht

Don’t worry. Das liest man sich nicht mal eben an nem Wochenende an, aber mit der Zeit wird es werden. Ein allgemeiner Rat: Sei Dir stets darüber klar, ob etwas eine Definition, ein first principle oder ein abgeleiteter Zusammenhang (abgeleitet woraus genau?) ist. Das hilft sehr beim Verständnis.

Gruß
Martin

(*) Allerdings existieren gewisse Variationsfunktionale, aus denen man z. B. die Maxwellgleichungen doch herleiten kann. Dabei geht es um das Minimieren bestimmter Wirkungen („Wirkung“ hier als physikalische Größe) und die Frage, ob dieses Prinzip als nicht noch fundamentaler angesehen werden muss, ist berechtigt. Das hat aber für Dich keine Bedeutung; ich wollte es nur der Vollständigkeit halber erwähnen.

#3

Hi,

Um von

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

auf

\frac{q}{V} \cdot \frac{1}{\varepsilon_0}

zu kommen, musst du den Nabla-Operator nicht ausführen.
Es reicht vollkommen wenn du den Vektor \vec{E} mit

\frac{\vec{F}}{q}

ersetzt.
Dann erhältst du:

\nabla \cdot \frac{\vec{F}}{q} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Nun multiplzierst du mit q und ersetzt \rho mit \frac{1}{V} (die Dichte ist der Kehrwert des Volumens).
Und du erhältst deine Lösung:

\nabla \cdot \vec{F}=\frac{q}{V} \cdot \frac{1}{\varepsilon_0}

Gruß
Hatje

#4

Nun multiplzierst du mit q und ersetzt \rho mit \frac{1}{V}
(die Dichte ist der Kehrwert des Volumens).

  1. Das heißt, 1 Liter Wasser hat eine andere Dichte als 2 Liter Wasser?
  2. ρ ist hier die Ladungsdichte, also ρ=q/V

Und du erhältst deine Lösung:

\nabla \cdot \vec{F}=\frac{q}{V} \cdot \frac{1}{\varepsilon_0}

Da behaupte ich mal, dass das falsch ist.

mfg,
Ché Netzer

#5

Eieieieiei, da ist mir ja n ganz böser Fehler unterlaufen…

  1. Das heißt, 1 Liter Wasser hat eine andere Dichte als 2
    Liter Wasser?

Nein natürlich nicht, es müsste heissen, der Kehrwert des gewichtsspeziefischen Volumens ist gleich der Dichte.

  1. ρ ist hier die Ladungsdichte, also ρ=q/V

So machts mehr Sinn…

Und du erhältst deine Lösung:

\nabla \cdot \vec{F}=\frac{q}{V} \cdot \frac{1}{\varepsilon_0}

Da behaupte ich mal, dass das falsch ist.

Das ist eine zulässige und logische Schlussfolgerung. :wink:

#6

Hi

Danke! Jetzt macht das ganze Sinn, das ist wahrscheinlich auch der Grund dass Google mit „Herleitung Maxwell-Gleichung“ nichts brauchbares fand :wink:

Da hätt ich noch folgende Frage: Es ist eine Gleichung, das bedeutet, man braucht nur eine Seite, um die andere zu errechnen. Die Einheit von Nabla E wäre dann Volt pro Quadratmeter, oder? Denn rho ist Coulomb pro Meter³ und das durch Epsilon0 ist multipliziert mit Volt*Meter durch Ampere*Sekunde. Coulomb = Ampere*Sekunde, das kürzt sich weg Ein Meter mit einem Meter von Meter³ macht Meter². Sinn macht es, dass es eine Ordnung geringer ist, da Divergenz Vektorfeld ein Skalarfeld ergibt und man das dreidimensionale Feldlinienbild als Spannungspotential darstellen könnte, da diese im Radialfeld eines el. Teilchen, welches ein el. Feld erzeugt, vom Radius abhängig ist. Aber wenn ich so darüber nachdenke, macht das Zweidmensionale doch nicht so viel Sinn… Wie hab ich mir das vorzustellen?

Grüße
hahihu

#7

Hallo,

Es ist eine Gleichung, das
bedeutet, man braucht nur eine Seite, um die andere zu errechnen.

ich weiß, was Du sagen willst, aber so ist es etwas ungeschickt formuliert. Ganz grundlegend drückt eine Gleichung aus, dass das, was links von ihrem Gleichheitszeichen steht, und das, was rechts davon steht, dasselbe ist. Deine Maxwellgleichung besagt also, dass \nabla\cdot \vec{E} und \rho/\epsilon_0 dasselbe sind. Always and everywhere. Wann immer Du eins dieser Dinger kennst, kennst Du automatisch auch das andere, und umgekehrt.

Die Einheit von Nabla E wäre dann Volt pro Quadratmeter, oder?

Ja, richtig. Zumindest wäre das eine korrekte Einheit von vielen möglichen im SI-System. Man kann ja jede physikalische Größe in unzähligen Einheiten angeben, z. B. eine Strecke in Inches oder Seemeilen oder Millimeter. Einheiten für Zeitdauern sind z. B. Nanosekunden, Tagen, Jahre etc. Die Frage nach der Einheit von dem, was auf den beiden Seiten der Maxwellgleichung steht, ist aber eigentlich uninteressant. Du könntest prinzipiell sogar ε0 einfach weglassen (und damit implizit = 1 setzen) – es würde die physikalische Aussage der Maxwellgleichung nicht antasten! Lediglich die Einheiten aller beteiligten Größen würden sich dadurch ändern. Das ε0 ist blos ein SI-systemspezifischer Umrechnungsfaktor, den wir brauchen, weil die SI-Einheiten Meter, Sekunde, Ampère usw. „nicht optimal“ sind. Es gibt noch mehr solcher theoretisch entbehrlicher Umrechnungsfaktoren, nämlich μ0, die Lichtgeschwindigkeit c, die Boltzmann-Konstante kB und das Plancksche Wirkungsquantum h. Diese Naturkonstanten sind die „optimalen“ Einheiten. In der Hochenergiephysik hat man übrigens keine Scheu und setzt tatsächlich c und h auf 1, weil das die Gleichungen vereinfacht. Nennt man dann „natürliches Einheitensystem“. Für unsere Alltagswelt sind natürliche Einheiten leider unpraktisch, z. B. ist die natürliche Zeiteinheit 6.58212 · 10–16 Sekunden.

http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitensystem

da Divergenz Vektorfeld ein Skalarfeld ergibt

Ja, die Divergenz ist ein skalares Feld. „Divergenz Vektorfeld“ gibts nicht. Du dachtest wahrscheinlich an Nabla: Das kann sowohl auf ein Skalarfeld wirken (→ Gradient) als auch auf ein Vektorfeld (→ Divergenz und Rotation).

Wie hab ich mir das vorzustellen?

Vorschlag: Lies Dir den Wikipedia-Artikel zur Divergenz von Anfang an durch soweit Du das Gefühl hast, es einigermaßen zu verstehen. Wenn Du dann zu bestimmten Punkten Fragen hast, stelle sie hier.

http://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_%28Mathematik%29

Ein schönes WE
Martin

#8

Hi

Erstmal Danke.

Man kann ja jede physikalische
Größe in unzähligen Einheiten angeben, z. B. eine Strecke in
Inches oder Seemeilen oder Millimeter. Einheiten für
Zeitdauern sind z. B. Nanosekunden, Tagen, Jahre etc.

Das weiß ich bereits^^

Diese Naturkonstanten sind die „optimalen“ Einheiten. In der
Hochenergiephysik hat man übrigens keine Scheu und setzt
tatsächlich c und h auf 1, weil das die Gleichungen
vereinfacht. Nennt man dann „natürliches Einheitensystem“.

Das hab ich mir auch vor ein paar Wochen erst angeschaut.

Vorschlag: Lies Dir den Wikipedia-Artikel zur Divergenz von
Anfang an durch soweit Du das Gefühl hast, es einigermaßen zu
verstehen. Wenn Du dann zu bestimmten Punkten Fragen hast,
stelle sie hier.

Joa, also ich habs mal überflogen. Wenn du meinst, dass es mir weiterhelfen kann, schau ichs mir mal genauer an, danke :smile:

Grüße und schönes Restwochenende
hahihu