An alle Physiker:
Als ich neulich 'n bischen mit den Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsformeln der Mechanik experimentiert habe, bin ich auf Folgendes gestoßen:
s(t) = (1/2)*a*t^2
Mit dieser allgemeinen Formel kann man den zurückgelegten Weg berechnen, wenn eine Beschleunigung a die Zeit t wirkt.
Ferner gilt: v = a*t; --> a = v/t (umgestellt)
Außerdem: s(t) = v*t (allgemeine Formel)
Wenn ich jetzt in die erste Formel für a = v/t einsetze, dann erhalte ich
s(t) = (1/2)*(v/t)*t^2 = (1/2) * v *t (!!!)
Wie kann denn s(t) = v*t UND s(t) = (1/2)*v*t sein?
–> s(t) = 2s(t) ?
Widerspruch oder falsche Formel(n)?
Die scheinen aber richtig zu sein: s nach t abgeleitet ist v, v nach t abgeleitet a.
Überprüfung:
s(t) = (1/2)at^2; s(t)’ = at = v; s(t)’’ = v’ = a
Die Formeln scheinen zu stimmen, aber wieso kann ich sie dann nicht ineinander einsetzen?
Mit bestem Dank im Voraus,
Christoph
Hallo Christoph,
du kombinierst die Formeln für konstante Beschleunigung mit den Formeln für konstante Geschwindigkeit!
s(t) = (1/2)*a*t^2
Mit dieser allgemeinen Formel kann man den zurückgelegten Weg
berechnen, wenn eine Beschleunigung a die Zeit t wirkt.
Ferner gilt: v = a*t; --> a = v/t (umgestellt)
Diese Formeln gelten für konstante Beschleunigung.
Außerdem: s(t) = v*t (allgemeine Formel)
Diese gilt aber nur wenn v konstant ist. Also konstane Geschwindigkeit.
Wenn ich jetzt in die erste Formel für a = v/t einsetze, dann
erhalte ich
s(t) = (1/2)*(v/t)*t^2 = (1/2) * v *t (!!!)
Und das kommt dabei raus, wenn man beide vermischt.
Also immer beachten
a) ist a konstant dann gilt:
a=const
v=a*t
s=a/2t²
b) ist v konstant dann gilt:
a=0
v=const
s=v*t
Und bloß nichts vermischen!
Gruß
Oliver
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Hallo, Christoph und Oliver!
Ich bitte euch, ergänzen zu dürfen, weil es eine gute Gelegenheit ist (scheint mir), die „Infinitesimalrechnung“ und speziell den Zusammenhang zwischen Differenzial- und Integralrechnung weiter zu veranschaulichen.
Der Fehler war ja, wie du aufgezeigt hast, Oliver, die Nichtunterscheidung der Momentangeschwindigkeit als solcher.
Und dennoch (und gerade deswegen) gilt „eigentlich“ auch Christophs Weg, aber eben n u r differenziell. Ich möchte das
n u r hervorheben an dieser Stelle (wennich nich wieder ein stören tu!)
In korrektem Mathedeutsch:
v = ds/dt; also ds = v*dt und nat. s = Int{ds} = Int{v*dt};
a = dv/dt also dv = a*dt und dt = dv/a
Nach Integration von ds = v*dt erhält man:
s = Int{v*dt} = Int{v*(dv/a)} = (1/a)*Int{v*dv} = (1/a)*v^2/2 =
(1/a)*(a*t)^2 /2 = (a^2*t^2)/(2a) = a/2 * t^2.
Weil ja a konstant ist (konstante Beschleunigung), also
v = Int{a*dt} = a*t.
Den „tieferen“ Zusammenhang zwischen Ab- und Aufleitung (also „Differentiation“ und „Integration“ in „richtigem Deutsch“) habe ich selbst aber (trotz oder gerade wegen der bescheuerten Lehrerausbildung) merst beim Erklärenwollen verstanden; und dieser Prozeß ist noch nicht zuende, glücklicherweise.
Sorry, ma: wenns euch nix gebracht hat, Schwamm drunter, bitte!
Tschau, und moin, manni
PS: Man könnte sinnvoll auch die „partielle Integration“ anwenden. Aber nur, wenn ihr Interesse habt.
Hallo,
und erstmal danke für die Antworten.
Also, Olivers Antwort leuchtet mir ein. Über den Beitrag von Dilda (neuer Name?) musste ich mal kurz nachdenken, aber ich glaube, dass die Sache mit dem Leiten (Auf- und Ab-) ungefährt der entspricht, auf Grund welcher ich es überhaupt erst „geschafft“ habe, die beiden Formeln zu verbinden.
Chris
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