Hallo Warren,
Wenn jemand in D eine Arbeitsstelle kündigt und nahtlos eine
neue
Arbeitsstelle im nahen EU-Ausland aufnimmt (seinen
Hauptwohnsitz aber
in D behält), ist dann der Arbeitnehmer in irgendeiner Weise
verpflichtet, dem A-Amt (A-Agentur) eine Mitteilung über
diesen Arbeitswechsel (bzw. Kündigung) zu geben?
Wie kommst Du auf diese Frage? Denn im „Normalfall“ (Herr Jemand hat bisher bei Frima_A gearbeitet und wechselt nun zur Firma_B im Ausland) lautet die Antwort sicherlich „nein“, wie Dir ja meine Vorredner auch schon geschrieben hatten.
Aber wenn der Herr Jemand vorher im Kontakt mit dem Arbeitsamt war (also sowas wie „Hey Jungs, hab gekündigt, will Geld ab…“ „Nix gibt’s“ „will aber“) oder der vorherige Job in irgendeiner Form durchs Arbeitsamt unterstützt oder gefördert wird, oder das Arbeitsamt sonst irgendwie in der Sache drinhängt, würde ich schon Bescheid sagen 
*wink*
Petzi