Gibt es Mengen, die sich selbst enthalten?
Wenn ja welche?
Ist die Menge der natürlichen Zahlen z.B. so eine Menge?
Gibt es Mengen, die sich selbst enthalten?
Ja.
Wenn ja welche?
Zum Beispiel M := {2.5, der Bundeskanzler, mein Computer, M}
Ist die Menge der natürlichen Zahlen z.B. so eine Menge?
Nein, die Menge der natürlichen Zahlen enthält keine einzige Menge, sondern ausschließlich Zahlen (nämlich die natürlichen Zahlen).
Paradox bekannt?
Kennt ihr doch sicherlich, aber für allle anderen (noch einmal):
Die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten:
Enthält sie sich selbst oder enthält sie sich nicht?
Deswegen wurde einmal ein Frisör beim Bund n i c h t erschossen (sondsern erhängte sich schließlich sekbst).
Er hatte (bekanntlich) alle die barbieren sollen, die sich nicht selbst barbieren. Und war dann schließlich ziemlich haarig zum Appell erschienen.
Mengen sind ja meistens recht offen, aber es gibt sehr finster dreinblickende Elemente.
moin, z.B. manni
Zum Beispiel M := {2.5, der Bundeskanzler, mein Computer, M}
Hmmm,
sei N := {2.5, der Bundeskanzler}
ist denn dann N = M ?
Effektiv enthält ja M nur diese beiden Elemente. Wenn man argumentiert, dass M diese rekursiv enthält, enthält M dann unendlich viele Elemente ?
Jochen
sei N := {2.5, der Bundeskanzler}
ist denn dann N = M ?
Nein, M := {2.5, der Bundeskanzler, mein Computer, M} und
N := {2.5, der Bundeskanzler, mein Computer} sind zwei verschiedene Mengen. M enthält genau 4 Elemente, N genau 3.
Effektiv enthält ja M nur diese beiden Elemente. Wenn man
argumentiert, dass M diese rekursiv enthält, enthält M dann
unendlich viele Elemente ?
Nochmals nein, denn diese Argumentation ist nicht zulässig. Du darfst es nicht verwechseln mit M := {2.5, der BK, mein Computer} U M, wobei „U“ das „Vereinigt mit“-Zeichen sein soll. Diese Konstruktion wäre in der Tat sogar verboten, weil die Elemente einer Menge definitionsgemäß immer alle voneinander verschieden sein müssen (i. Ggs. zu einer „Familie“). „M := {2.5, der BK, mein Computer} U M“ würde also gar keine Menge definieren.
M := {2.5, der BK, mein Computer, M} ist dagegen eine wohldefinierte Menge. Bei Mengen, die sich selbst enthalten, wird es dann böse, wenn Du die Menge aller Mengen (!) betrachtest, die sich nicht selbst enthalten. Wenn Du darüber nachdenkst, kommst Du darauf, daß diese Menge sich genau dann selbst enthält, wenn sie das nicht tut (!), und umgekehrt. Das ist die sogenannte „Russelsche Antinomie“ (Bertrand Russel, Anfang 20. Jht). Aufgelöst wird das Paradoxon in der sogenannten Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre. Die Axiome, auf denen „die ZF“ beruht, schließen die Bildung gewisser Konstrukte aus, darunter auch die „Menge aller Mengen“.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Nein, M := {2.5, der Bundeskanzler, mein Computer, M} und
N := {2.5, der Bundeskanzler, mein Computer} sind zwei
verschiedene Mengen. M enthält genau 4 Elemente, N genau 3.
Hmm, ich habe einige Zeit nachdenken müssen, aber ich glaube, so ungefähr habe ich’s…
Danke
Jochen