Folgende Story: Dem bekannten franz. Forscher E.R. Reur ist es endlich gelungen, die erste These der Julirevolution („Alle Menschen sind gleich“) wissenschaftlich zu beweisen. Ist nämlich M eine Menge mit endlich vielen Elementen, so gilt a=b für alle a, b E (Element) M.
Beweis durch Induktion:
IA: Hat M genau ein Element, so ist die Aussage richtig.
IS: (i) Die Aussage sei richtig für Mengen mit genau n Elementen.(ii) Es sei M’ eine Menge mit genau n+1 Elementen. Für b E M’ sei N:= M’{b}. Die Elemente von n sind nach (i) einander gleich. Es bleibt zu zeigen: b=c wenn c E M’. Dazu entfernt man ein anderes Element d aus M’ und weiß dann: b E M’{d}. Die Elemente dieser Menge sind nach (i) wiederum einander gleich. Wegen der Transitivität der Gleichheitsbeziehung folgt dann die Behauptung.
Was is falsch an diesem Schluß??
Du bekommst nie mehr als einelementige Mengen. Wenn zwei Elemente gleich sind, dann sind sie nach Definiton der Gleichheit das selbe Element. Also ist M/{b} leer und alle Elemente in leer vereinigt {c} sind gleich. Aber b muss nicht mit c uebereinstimmen.
…
Wegen der Transitivität der
Gleichheitsbeziehung folgt dann die Behauptung.
Was is falsch an diesem Schluß??
Ebendieser letzte Satz.
Der Induktionsschritt scheitert bereits bei n=2. Sei M’={a,b}. Laut Beweis betrachte ich erst die Menge M’{b} = {a}. Okay, a=a. Dann entferne ich ein anderes Element (als b) aus M’, bleibt nur a. Also M’{a} = {b}. Na gut, es ist auch b=b. Aber mit Transitivität der Gleichheitsrelation kann ich jetzt nix machen, über die Beziehung von a und b weiß ich gar nichts. Damit ist der „Beweis“ bereits in der ersten Kurve gegen einen Baum gefahren.