Mengen, lineare Algebra

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
ich brauche dringend Hilfe bei diesen Aufgaben. Bei einigen davon habe ich schon einen Ansatz, bei manchen sogar ein Ergebnis.
Mengenoperationen

1.Sei M := {{0, 1}, {0, 2}, {0, 3}}. Bestimmen Sie P(M), ∪X∈M X und ∩X∈M X.
2.Sei M′ :={(0,1),(0,2),(0,3)}.Bestimmen Sie zwei Mengen M1, M2 mitM′ =M1×M2.
3.Bestimmen Sie für M aus (1) und M′ aus (2) M ∩ M′, M ∪ M′ und ob(!) M = M′ gilt.
4.Zeigen Sie, dass für jede Menge M gilt: ∪X∈P(M) X = M.
5.Zeigen Sie, dass jede Teilmenge X einer nichtleeren Menge M symmetrische Differenz zweier geeigneter Teilmengen von M ist.

Ergebnisse:

  1. P(M) = {{{0,1}}, {{0,2}}, {{0,3}}, {{0,1}, {0,2}}, {{0,1}, {0,3}}, {{0,2}, {0,3}}, M, ∅}
    ∪X∈M X = {0,1,2,3}
    ∩X∈M X = {0}
  2. M1 = {0}
    M2 = {0,1,2,3}
  3. Hier weiß ich nicht, wie ich die beiden vergleichen, vereinigen und schneiden soll, da M´Tupel sind und M Mengen. Habe für M´ M1×M2 eingesetzt, das bring mir aber nichts.
  4. Bei 1 hab ich ja schon aufgeschrieben, was P(M) ist. Ich weiß, dass das stimmt, weiß aber nicht, wie ich das aufschreiben soll.
  5. Hier verstehe ich schon die Aufgabenstellung nicht. :frowning:

Wäre echt nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gruß
Kris

#2

1.Sei M := {{0, 1}, {0, 2}, {0, 3}}. Bestimmen Sie P(M), ∪X∈M
X und ∩X∈M X.
2.Sei M′ :={(0,1),(0,2),(0,3)}.Bestimmen Sie zwei Mengen M1,
M2 mitM′ =M1×M2.
3.Bestimmen Sie für M aus (1) und M′ aus (2) M ∩ M′, M ∪ M′
und ob(!) M = M′ gilt.
4.Zeigen Sie, dass für jede Menge M gilt: ∪X∈P(M) X = M.
5.Zeigen Sie, dass jede Teilmenge X einer nichtleeren Menge M
symmetrische Differenz zweier geeigneter Teilmengen von M ist.

Ergebnisse:

  1. P(M) = {{{0,1}}, {{0,2}}, {{0,3}}, {{0,1}, {0,2}}, {{0,1},
    {0,3}}, {{0,2}, {0,3}}, M, ∅}
    ∪X∈M X = {0,1,2,3}
    ∩X∈M X = {0}

Sieht richtig aus.

  1. M1 = {0}
    M2 = {0,1,2,3}

Hier wäre auch (0,0) in M1xM2 enthalten

  1. Hier weiß ich nicht, wie ich die beiden vergleichen,
    vereinigen und schneiden soll, da M´Tupel sind und M Mengen.
    Habe für M´ M1×M2 eingesetzt, das bring mir aber nichts.

Wenn du M und M’ vereinigen willst, nimmst du einfach aus beiden Mengen alle Elemente, egal was das für Elemente sind.

  1. Bei 1 hab ich ja schon aufgeschrieben, was P(M) ist. Ich
    weiß, dass das stimmt, weiß aber nicht, wie ich das
    aufschreiben soll.

Wenn du eine Menge M mit einer Teilmenge von M vereinigst, dürfte M herauskommen, oder? Und was sind die Elemente von P(M)?

  1. Hier verstehe ich schon die Aufgabenstellung nicht. :frowning:

Die symmetrische Differenz ist die Vereinigung ohne die Schnittmenge. Also das, was „jeweils nur in einer der Mengen ist“.
Tipp: Das Komplement von X benutzen.

mfg,
Ché Netzer

#3

Ich weiß bei der 4, dass P(M) alle Teilmengen von M enthält, also das gleich sein muss, ich weiß nur nicht, wie ich das aufschreiben soll.

#4

Ich weiß bei der 4, dass P(M) alle Teilmengen von M enthält,
also das gleich sein muss, ich weiß nur nicht, wie ich das
aufschreiben soll.

Etwas praeziser sein bei Dingen die man „weiss“, ist nicht verkehrt, dennoch:

Die Potenzmenge enthaelt ja als Elemente alle Teilmengen der Menge M und die leere Menge, insbesondere ist M selbst Element von P(M). Alle anderen Teilmengen von M sind in M enthalten, wenn man sie also mit M vereinigt, kommt immer M raus. Jetzt muss man nur noch kurz ueberlegen, was mit der leeren Menge passiert, wenn man sie mit M vereinigt und das Ganze sinnvoll formal verpacken.

Gruss
Paul

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