Mengenlehre

Wissenschaft Mathematik
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Ich hab 2 aufgaben aus der mengenlehre die ich im ansatz verstehe aber schon nach den ersten schritten nicht weis wie ich weiter komme

1:

Vereinfache :
______ ______
_ _
(A n (B u C)) u (A u B) u (A n B)

mein erster schritt wäre
_ _
_ _ _ _
= (A n(B n C)) u (A n B) u (A n B)

n= schnitt zweier mengen
u= vereinigung zweier mengen
die striche solln ja nicht so weit auseinander sein aber ich wusste nicht wie mans besser darstellt.

2:
Beweisen sie :
A(BnC) = (A\B) u (A\C)

Ich verstehe nicht wie aus dem n später ein u wird?

Hoffe jemand kann mir helfen.

2

Ich hab 2 aufgaben aus der mengenlehre die ich im ansatz
verstehe aber schon nach den ersten schritten nicht weis wie
ich weiter komme

1:

Vereinfache :

______ ______
_ _
(A n (B u C)) u (A u B) u (A n B)

mein erster schritt wäre

_ _
_ _ _ _
= (A n(B n C)) u (A n B) u (A n B)

n= schnitt zweier mengen
u= vereinigung zweier mengen
die striche solln ja nicht so weit auseinander sein aber ich
wusste nicht wie mans besser darstellt.

Du solltest v.a. das pre-Tag benutzen. Sonst sind die Striche für die Komplemente generell nicht dort wo sie hingehören. Ich hab das oben mal korrigiert.

Auf jeden Fall kannst du da doch schon mal weiter machen. Es gilt doch:

\_
\_
B = B

Das Komplement vom Komplement gibt wieder die ursprüngliche Menge, wie bei der doppelten Verneinung in der Logik.

Damit kannst du den obigen Term schon mal ganz schön vereinfachen. Dann „multiplizierst“ du die rechten beiden Terme einfach aus mittels Distributivitätsgesetz: X u (YnZ) = (XuY) n (XuZ)

Dann wirst du sehen, dass die rechten beiden Terme einfach nur A sind. Und dann kannst du dies zusammen mit dem verbleibenden linken Term ja nochmal stark vereinfachen, so dass am Schluss nur noch ein seeehr kleiner Ausdruck da steht.

2:
Beweisen sie :
A(BnC) = (A\B) u (A\C)

Ich verstehe nicht wie aus dem n später ein u wird?

Im Prinzip steht da oben ja einfach:

\_\_\_ \_ \_
BnC = B u C

Du musst also das De Morgansche Gesetz beweisen:

Also nimmst du A(BnC) an und zeigst daraus (A\B) u (A\C)

Aus A(BnC) folgt, dass dies alle Element sind, die nicht in B und C gleichzeitig sind, aber in A. Dass dies der rechten Seite entspricht, ist offensichtlich, denn das sind ja eben auch alle Elemente die in A sind, aber weder in B noch in C. Hier musst du eben eine geeignete Umformung finden aus den normalen Gesetzen der Mengenlehre, dass dir diese Gleichheit auch formal nachweist.

Und dann zeigst du in einem zweiten Schritt die umgekehrte Richtung. Du nimmst (A\B) u (A\C) an, und folgerst daraus A(BnC).

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Aus A(BnC) folgt, dass dies alle Element sind, die nicht in B
und C gleichzeitig sind, aber in A. Dass dies der rechten
Seite entspricht, ist offensichtlich, denn das sind ja eben
auch alle Elemente die in A sind, aber weder in B noch in C.

Das ist nicht ganz richtig. Das sind alle Elemente die in A sind, aber entweder nicht in B oder nicht in C.

hendrik

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Aus A(BnC) folgt, dass dies alle Element sind, die nicht in B
und C gleichzeitig sind, aber in A. Dass dies der rechten
Seite entspricht, ist offensichtlich, denn das sind ja eben
auch alle Elemente die in A sind, aber weder in B noch in C.

Das ist nicht ganz richtig. Das sind alle Elemente die in A
sind, aber entweder nicht in B oder nicht in C.

Doch. BnC ist die Menge der Elemente die in B und C gleichzeitig sind. A \ BnC ist demnach die Menge der Elemente, die nicht in B und C gleichzeitig sind, d.h. das sind also die, die weder in B und C sind.

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BnC ist die Menge der Elemente die in B und C
gleichzeitig sind. A \ BnC ist demnach die Menge der Elemente,
die nicht in B und C gleichzeitig sind…

Hier meinst du wahrscheinlich A(BnC).

…, d.h. das sind also
die, die weder in B und C sind.

Immer noch nicht richtig. Ein Element aus A was in B aber nicht in C liegt, liegt auch in A(BnC). Übrigens steckt diese Aussage ja auch genau in der Gleichung um die es in diesem Beitrag ursprünglich ging.

Falls es immer noch nicht klar ist, mal dir zur Not einen großen Kreis A und zwei sich schneidende Kreise B und C in das Innere von A, vielleicht siehst du es dann.
Viel Erfolg !

hendrik

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BnC ist die Menge der Elemente die in B und C
gleichzeitig sind. A \ BnC ist demnach die Menge der Elemente,
die nicht in B und C gleichzeitig sind…

Hier meinst du wahrscheinlich A(BnC).

Richtig.

…, d.h. das sind also
die, die weder in B und C sind.

Immer noch nicht richtig. Ein Element aus A was in B aber
nicht in C liegt, liegt auch in A(BnC).

Das habe ich auch nie bestritten.

Nochmal:
Ich sagte: A(BnC) enthält die Elemente, die in A sind, aber nicht B und C gleichzeitig.

Ein Element, dass also in B, aber nicht in C liegt, gehört also meiner Aussage nach zu A(BnC). Ich verstehe deshalb nicht wirklich, was du mir damit sagen willst, denn dein Beispiel stimmt mit meiner Aussage 1:1 überein.

Oder ums formaler zu schreiben: Ein Element x liegt in A(BnC) wenn gilt: x € A und nicht (x € B und x € C).

(x € B und x € C) bedeutet, dass x in B und C gleichzeitig ist.

Falls es immer noch nicht klar ist, mal dir zur Not einen
großen Kreis A und zwei sich schneidende Kreise B und C in das
Innere von A, vielleicht siehst du es dann.

Das habe ich soeben gemacht und das gemalte Bild entspricht genau meiner Aussage:
http://i36.tinypic.com/n4co4l.jpg

Viel Erfolg !

Gleichfalls :wink:

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Nochmal:
Ich sagte: A(BnC) enthält die Elemente, die in A sind, aber
nicht B und C gleichzeitig.

Oder ums formaler zu schreiben: Ein Element x liegt in A(BnC)
wenn gilt: x € A und nicht (x € B und x € C).

(x € B und x € C) bedeutet, dass x in B und C gleichzeitig
ist.

So ist es richtig, und nachdem das Bild auch richtig ist, galube ich dir ja auch, dass du es richtig verstanden hast. Du hast nur in deiner ersten Antwort zu diesem Beitrag geschrieben, dass x weder in B noch in C liegen darf, und das ist etwas anderes.
Aber nachdem nun klar ist, dass wir anscheinend dasselbe meinen, können wir das glaube ich abschließen.

hendrik

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Hallo,

Ein Element, dass also in B, aber nicht in C liegt, gehört
also meiner Aussage nach zu A(BnC).

Einspruch: Das Element „2“ in dieser Skizze…

http://img257.imageshack.us/img257/9484/mengentriple…

…liegt in B, aber nicht in C. Trotzdem gehört es nicht zu A \ (B n C) = die dick schwarz umrandete Fläche.

Du betrachtest mit Deiner Skizze aus unerfindlichen Gründen den Sonderfall, dass B und C komplett in A liegen. Damit kannst Du aber nicht den allgemeinen Fall korrekt beweisen – an irgendeiner (mindestens einer) Stelle in der Argumentationskette muss es dann klemmen. Das ist der tiefere Grund für Eure Meinungsverschiedenheit.

Hier noch ein Beweis, dem die Idee zugrundeliegend, die mit den Zahlen gekennzeichneten Regionen in meiner Skizze als Mengen aufzufassen, die alle zueinander disjunkt sind. Dies macht die Sache simpel:

A = 1457, B = 2467, C = 3567

⇒ A \ (B n C) = 1457 \ (2467 n 3567)
      = 1457 \ 67
      = 145
      = 15 u 14
      = (1457 \ 2467) u (1457 \ 3567)
      = (A \ B) u (A \ C)

Gruß
Martin

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Ein Element, dass also in B, aber nicht in C liegt, gehört
also meiner Aussage nach zu A(BnC).

Einspruch:

Stopp. So gehts ja wohl nicht hier. Du kannst dir nicht einfach einen Satz rauspicken, ihn sinnfrei entstellen und mir dann damit sagen, dass ich unrecht habe.

Hier - nochmal für extra für dich - das ganze Zitat aus meinem vorherigen Beitrag:

Nochmal:
Ich sagte: A(BnC) enthält die Elemente, die in A sind , aber nicht
B und C gleichzeitig.

Ein Element, dass also in B, aber nicht in C liegt, gehört also ::meiner Aussage nach zu A(BnC).

Ich sagte ausdrücklich dass das Element in A liegen muss. Dass sich der zweite Satz da drauf bezieht, kann wohl normal ein Blinder mit Krückstock erkennen.

Das Element „2“ in dieser Skizze…

http://img257.imageshack.us/img257/9484/mengentriple…

…liegt in B, aber nicht in C. Trotzdem gehört es
nicht zu A \ (B n C) = die dick schwarz
umrandete Fläche.

Das Element 2 gehört auch nach meiner Aussage nicht zu A(BnC) weil es nicht in A liegt. Bitte hört auf, mir Sachen in den Mund zu legen, die ich so nie gesagt habe.

Du betrachtest mit Deiner Skizze aus unerfindlichen Gründen
den Sonderfall, dass B und C komplett in A liegen. Damit
kannst Du aber nicht den allgemeinen Fall korrekt beweisen –
an irgendeiner (mindestens einer) Stelle in der
Argumentationskette muss es dann klemmen. Das ist der tiefere
Grund für Eure Meinungsverschiedenheit.

Nein ist es nicht. Meine Aussage gilt genauso für den Fall, dass B und C nicht komplett in A liegen. Sie gilt sogar dann, wenn A, B und C disjunkte Mengen sind.

Nochmal (zum 1000ten Mal inzwischen):
Ich sagte:

Aus A(BnC) folgt, dass dies alle Element sind, die nicht in B
und C gleichzeitig sind, aber in A.

Dies war die ursprüngliche Aussage, die laut Hendrik nicht richtig wäre, womit er aber falsch liegt.

Hier noch ein Beweis, dem die Idee zugrundeliegend, die mit
den Zahlen gekennzeichneten Regionen in meiner Skizze als
Mengen aufzufassen, die alle zueinander
disjunkt sind.

Ein Beweis wir nicht durch ein Beispiel erbracht. Damit beweist du nur den konkret betrachteten Fall, nicht den allgemeinen Fall. Genau wie eine Skizze dient dein Beispiel höchstens als Veranschaulichung, aber sicher nicht als Beweis für A(BnC) = (A\B) u (A\C).

Bei disjunkten Mengen A,B,C oder wenn gilt dass B,C Teilmengen von A sind (wie in meinem Beispiel) gilt dein Beweis nicht.

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So ist es richtig, und nachdem das Bild auch richtig ist,
galube ich dir ja auch, dass du es richtig verstanden hast. Du
hast nur in deiner ersten Antwort zu diesem Beitrag
geschrieben, dass x weder in B noch in C liegen darf, und das
ist etwas anderes.

Ach jetzt sehe ich erst, was du genau gemeint hast.

Ich schrieb:
… alle Elemente die in A sind, aber weder in B noch in C.

Das ist natürlich Quatsch. Ich meinte eigentlich, dass dies alle Elemente sind, die in A sind, aber nicht in B und C gleichzeitig. Deine Kritik an meinem Satz war also berechtigt, da habe ich wohl zuerst meinen eigenen Text nicht richtig gelesen, und dann hast du meine darauf folgenden Antworten nicht richtig gelesen :wink:

Aber nachdem nun klar ist, dass wir anscheinend dasselbe
meinen, können wir das glaube ich abschließen.

Jepp.

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Aus A(BnC) folgt, dass dies alle Element
sind, die nicht in B
und C gleichzeitig sind, aber in A.

Dies war die ursprüngliche Aussage, die laut Hendrik nicht
richtig wäre, womit er aber falsch liegt.

Korrektur:
Diesen Satz hat Hendrik gar nicht beanstandet, sondern den darauf folgenden Satz. Siehe meine letzte Antwort auf Hendrik.