Hallo zusammen,
meine Aufgabe lautet: Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
a) A = A ∪ B
b) B = A ∩ B
c) A ⊂ B
d) A \ B = {∅}
Folgt nicht schon aus a), daß B = {∅}? Wie kann dann A ⊂ B sein? Müßte es dann nicht wenigstens heißen A ⊆ B ?
Und gibt es irgendwo im Netz eine beispielhafte Beweisführung für derart grundlegende Mengenlehreaufgaben?
Vielen Dank
Hanno
Hey Hanno,
leider kenne ich mich in den Beweisen für Mengenlehre auch nicht so gut aus, aber evtl kann ich ein paar deiner Fragen beantworten und dir so ein wenig weiterhelfen.
Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
a) A = A ∪ B
b) B = A ∩ B
c) A ⊂ B
d) A \ B = {∅}
Folgt nicht schon aus a), daß B = {∅}?
Nicht unbedint! Aus a) folgt nur, dass durch die Vereinigung nichts neues dazugekommen ist. Dann gibt es 2 Möglichkeiten:
Wie kann dann c sein? Müßte es dann nicht wenigstens heißen
A ⊆ B ?
Ähm, also bei meinen Profs war es so, dass die zwischen echter Teilmenge und Teilmenge nicht groß unterschieden haben. Sie waren der Meinung, dass merkt man dann aus dem Zusammenhang.
Bei diesem Beispiel glaube ich nicht, dass mit c) die echte Teilmenge gemeint ist (Würde sonst keinen Sinn ergeben, da beide Mengen gleich sind.)
Und gibt es irgendwo im Netz eine beispielhafte Beweisführung
für derart grundlegende Mengenlehreaufgaben?
Hab grad auch schon geschaut, aber außer diversen Uni-Seiten finde ich recht wenig.
Vielen Dank
Viel konnte ich leider nicht helfen.
Gruß René
Hallo,
meine Aufgabe lautet: Beweisen Sie die Äquivalenz der
folgenden Aussagen:a) A = A ∪ B
b) B = A ∩ B
c) A ⊂ B
d) A \ B = {∅}
Folgt nicht schon aus a), daß B = {∅}?
Wieso das? A = A ∪ B ist doch beispielsweise auch richtig, wenn A = B ist (A = A ∪ A).
Wie kann dann A ⊂ B sein? Müßte es dann nicht wenigstens heißen A ⊆ B ?
Ich vermute stark, das „⊂“ will hier als „⊆“ verstanden werden.
Gruß
Martin
PS: Verwende als Symbol für die leere Menge entweder { } oder ∅, aber nicht {∅}. Die Menge {∅} ist nicht die leere Menge, sondern die Menge, die die leere Menge als Element enthält.
a) A = A ∪ B
b) B = A ∩ B
c) A ⊂ B
d) A \ B = {∅}
Hallo Hanno,
die Aufgabe ist falsch gestellt: Die vier Aussagen sind dann äquivalent, wenn Du die Relationen „Schnittmenge“ und „Vereinigung“ vertauschst, oder wenn Du in c) und d) die Mengen A und B vertauschst.
Ich mach die Aufgabe mal schnell richtig:
a) A = A ∩ B
b) B = A ∪ B
c) A ⊂ B
d) A \ B = {∅}
Erst einmal ein Venn-Diagramm dazu:
+---------------------+
| |
| B |
| |
| +-----+ |
| | | |
| | A | |
| | | |
| +-----+ |
| |
| |
| |
+---------------------+
Du siehst, dass hier der Schnitt von A und B die Menge A ist, die Vereinigung ist die Menge B, A ist Teilmenge von B, und wenn ich aus A alle Elemente aus B entferne, bleibt nichts übrig. Die Aussagen a) bis d) gelten also.
Leider sind Venn-Diagramme keine Beweise. Gewöhnlicherweise geht man bei Äquivalenzbeweisen mit mehreren Aussagen so vor: Man zeigt die einzelnen Implikationen in
a) => b) => c) => d) => a).
Das könnte hier etwas komplizierter werden (es ist sicher nicht unmöglich), ich schlage deshalb vor, du zeigst die Äquivalenz von c) mit allem anderen, also
c) => a) => c)
c) => b) => c)
c) => d) => c).
Das sind dann zwar sechs statt nur vier Implikationen, die Du zeigen musst, aber die sind alle ganz einfach.
Damit Du nun auch siehst, wie’s geht, für ich Dir die erste Äquivalenz dann vor, die anderen beiden kannst Du dann allein.
c) => a), also A ⊂ B => A = A ∩ B.
Wir nehmen also an, A ist Teilmenge von B, d.h. für alle x in A gilt x in B.
Wir wollen eine Mengengleichheit zeigen, dazu müssen wir zeigen A ⊂ A ∩ B und A ∩ B ⊂ A. Letzteres gilt nach Definition der Schnittmenge. (Gut, ganz ausführlich: Sei x in A ∩ B => x in A und x in B => x in A.)
Nun also zeigen wir, dass mit unserer Voraussetzung (alle x in A sind auch in B) A ⊂ A ∩ B gilt.
Sei dazu x in A, wir zeigen dann x in A ∩ B.
x\in A \stackrel{A\subset B}{\Rightarrow}x\in B
\stackrel{x\in A}{\Rightarrow} x\in A\wedge x\in B\Rightarrow x\in A\cap B.
Was zu zeigen war.
Nun zeigen wir noch, dass aus a) c) folgt, also wenn A = A ∩ B, dann A ⊂ B.
Wir haben eben schon erkannt, dass A ∩ B ⊂ A immer gilt; demnach ist das Besondere an a) die Relation A ⊂ A ∩ B. Daraus muss irgendwie A ⊂ B folgen.
Wir nehmen also als Voraussetzung an, dass alle x in A auch in A ∩ B sind und folgern daraus, dass alle x in A auch in B sind. Nun denn:
x\in A \stackrel{A\subset A\cap B}{\Rightarrow}x\in A\cap B
\Rightarrow x\in A \wedge x\in B \Rightarrow x\in B.
Was zu beweisen war.
Wie gesagt, die anderen Äquivalenzen gehen alle genauso.
Liebe Grüße
Immo
Danke!!! (… und Nachfrage)
Mensch Immo, vielen vielen Dank für Deine superausführliche und typographisch schöne Hilfe. Danke 
Bei einem Schritt habe ich noch eine Frage:
|Wir wollen eine Mengengleichheit zeigen, dazu müssen wir zeigen A ⊂ A ∩ B und A ∩ B ⊂ A. Letzteres gilt nach Definition der Schnittmenge.
Wie komme ich auf ausgerechnet diese Umstellung? Wenn ich logisch argumentiere, daß sich A ∩ B ⊂ A daraus ergibt, daß zu Beginn schon galt A = A ∩ B, dann kann ich doch auch gleich ohne Beweis sagen A ⊂ B => A = A ∩ B.
Will sagen: Ich verstehe nicht, bis zu welchem Grad ich umstellen, verändern kann, ohne daß ich unbewiesenes tue, und damit den eigentlichen Beweis beschädige.
Bin gespannt.
Allerbeste Grüße
Hanno
Hallo Hanno!
Wir wollen eine Mengengleichheit zeigen, dazu müssen wir
zeigen A ⊂ A ∩ B und A ∩ B ⊂ A. Letzteres gilt nach Definition
der Schnittmenge.Wie komme ich auf ausgerechnet diese Umstellung?
Wenn zwei Mengen M und N gleich sind, bedeutet dies: Jedes Element von M liegt auch in n und jedes Element von N liegt auch in M, oder in Symbolen eben
M\subset N \wedge N\subset M.
Das ist die „Umstellung“, die man immer macht.
Wenn ich logisch argumentiere, daß sich A ∩ B ⊂ A daraus ergibt, daß zu
Beginn schon galt A = A ∩ B, dann kann ich doch auch gleich
ohne Beweis sagen A ⊂ B => A = A ∩ B.
Da hast Du recht, das wäre ein Zirkelschluss. Ich sage aber nicht:
A=A\cap B\Rightarrow A\cap B\subset A,
sondern ich sage, dass A ∩ B ⊂ A immer gilt, unabhängig von jeglichen Voraussetzungen - eben nach Definition von „∩“ - und dass deshalb A ⊂ A ∩ B nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für A = A ∩ B ist.
Will sagen: Ich verstehe nicht, bis zu welchem Grad ich
umstellen, verändern kann, ohne daß ich unbewiesenes tue, und
damit den eigentlichen Beweis beschädige.
Wenn Du sauber die Voraussetzungen von dem zu Zeigenden trennst, kannst Du alles umstellen, wie Du willst. (Ich spreche hier allerdings nur von Äquivalenzen. Mit Implikationen muss man immer aufpassen, in welche Richtung sie gehen. Zur Sicherheit kann man am Ende des Beweises noch einmal die gesamte Implikationskette hinschreiben, dann sieht man, ob man alles richtig gemacht hat.) Die Voraussetzungen dürfen an jeder Stelle der Umstellungen eingehen, nur die gewünschten Ergebnisse darfst Du nicht verwenden.
Ich schreibe mir z.B. auf:
Gegeben: A ⊂ B
_____________________________(große schwarze Linie)___________________
Zu zeigen: A = A ∩ B
\Leftrightarrow A\subset A\cap B\wedge A\cap B\subset A.\qquad(*)
(Jetzt habe ich zwei Möglichkeiten: Entweder ich forme das zu Zeigende noch weiter um …)
\stackrel{A\cap B\subset A \mathrm,ist,wahr}{\Longleftrightarrow} A\subset A\cap B
(… das darf ich hier tun, denn eine Konjunktion mit einer wahren Aussage ändert den Wahrheitswert nicht, will sagen x\wedge\mbox{„wahr“} ist logisch äquivalent zu x …
oder aber ich zeige im Beweisteil beide zu zeigende Aussagen. Ich mache also wieder meine große schwarze Linie …)
________________________________________________________________________________
Beweis: 1) A ∩ B ⊂ A ist klar. (Meinetwegen auch mit der kurzen Begründung, die ich gestern schrieb.)
2) Zeige A ⊂ A ∩ B. Sei dazu x in A. … (Das hatten wir auch gestern schon.)
Und wenn Du jetzt zur Sicherheit die gesamte Implikationskette hinschreibst, dann siehst Du, das alles richtig war:
A\subset B \stackrel{\mathrm1),,2)}{\Rightarrow}A\cap B\subset A\wedge A\subset A\cap B
\stackrel{(*)}{\Leftrightarrow}A=A\cap B.
Liebe Grüße
Immo