Hallo,
die Frage dürfte für geübte relativ einfach sein, aber ich habe da gerade meine Zweifel und würde mich daher gerne absichern 
M={{-4},0,2,3,{10,12}}
Nun soll ich beantworten, ob {10,12} Element, Teilmenge oder keines von beidem ist.
Ich würde sagen, dass es ein Element ist, jedoch erscheint mir Teilmenge ebenso logisch.
Schon mal Danke für Antworten
Tach,
M={{-4},0,2,3,{10,12}}
Ist die Schreibweise wirklich genau so? Warum Mengenklammer um -4, aber nicht um z.B. 0?
Nun soll ich beantworten, ob {10,12} Element, Teilmenge oder
keines von beidem ist.Ich würde sagen, dass es ein Element ist,
Das wuerde ich auch so sehen.
jedoch erscheint mir
Teilmenge ebenso logisch.
Das sehe ich anders (bei Bedarf darf man mir gern widersprechen, Mengentheorie ist nicht mein Fach und ich habe damit ewig nicht mehr zu tun gehabt), denn:
Vorausgesetzt {10, 12} ist zweielementig
Nennen wir S:={10,12}. Wenn S Teilmenge M, dann müsste nach der Definition einer Teilmenge gelten: fuer alle x Element S gilt: x Element M. {10} ist Element S, aber nicht Element M, damit S keine Teilmenge.
Alternativ kann man das Gleiche machen, indem man sich ueberlegt, dass die Inlusion als Partialordnung ansieht, und die Transitivitaet prueft. Oder man benutzt die Aussage: Wenn S Teilmenge M, dann S vereinigt M = M, macht man das mit Deinen S und M, so ist die Vereinigung davon M vereinigt {10} vereinigt {12}.
Ist S={10,12} als Paar zu verstehen, ist das IMHO anders.
Gruss
Paul
M={{-4},0,2,3,{10,12}}
Ist die Schreibweise wirklich genau so? Warum Mengenklammer um
-4, aber nicht um z.B. 0?
Vermutlich weil die Zahl -4 kein Element der Menge M ist, wohl aber die Menge {-4}, deren einziges Element die Zahl -4 ist.
Das mag zunächst spitzfindig erscheinen, aber der Unterschied wird klar, wenn man versucht Operatoren darauf anzuwenden:
Mengen kann man z. B. vereinigen oder schneiden.
Zahlen kann man addieren und subtrahieren.
Michael
Nennen wir S:={10,12}…
{10} ist Element S,…
Hallo Paul,
hier bist du etwas durcheinander gekommen, {10} ist kein Element von {10,12} sondern eine Teilmenge. 10 wäre ein Element von {10,12}.
Gruß
hendrik
Hallo Klufti.
M={{-4},0,2,3,{10,12}}
Nun soll ich beantworten, ob {10,12} Element, Teilmenge oder
keines von beidem ist.
Die Einträge in den Mengenklammern von M sind die Elemente von M. Also ist zB 0 ein Element von M, ebenso 2 oder {-4}. Demgemäß ist auch {10;12} ein Element von
M.
Ich würde sagen, dass es ein Element ist, jedoch erscheint mir
Teilmenge ebenso logisch.
Teilmengen einer Menge sind Mengen, die mehr oder weniger viele Elemente dieser Menge enthalten. Also in Deinem Fall zB {0;2} oder {2,3}. Natürlich gibt es auch einelementige Teilmengen. Das sind dann, wie Michael schon treffend beschrieben hat, Mengen, die genau dieses Element enthalten. Also zB {2} oder {{10;12}} (mit doppelten Klammern, denn es ist die Menge, die die Menge {10;12} als einziges Element enthält!). Demnach ist die Menge {10;12} keine Teilmenge von M.
ME kann man sich Mengen dieser Art gut als kleine Stoffbeutelchen vorstellen, die man beliebig füllen kann. So kann man in einen Beutel eine einzige Zahl stecken oder mehrere Zahlen oder auch gar keine Zahl oder auch einen oder mehrere weitere Beutelchen, die ihrerseits ebenfalls auf die genannte Art befüllt sein können.
Liebe Grüße vom
Namenlosen
Tach,
hier bist du etwas durcheinander gekommen, {10} ist kein
Element von {10,12} sondern eine Teilmenge. 10 wäre ein
Element von {10,12}.
jo richtig, bedankt.
Gruss
Paul
Hallo!
Das Stoffbeutelchenmodell stößt aber an seine Grenzen, wenn es z. B. um folgende Frage geht:
Darf eine Menge ein Element von sich selbst sein, also z. B.
M := {M,{}}
M ist also definiert als eine Menge von zwei Elementen. Das eine Element ist die Menge M, das andere ist die leere Menge.
Geht sowas? Tja …
Michael
Tach,
M ist also definiert als eine Menge von zwei Elementen. Das
eine Element ist die Menge M, das andere ist die leere Menge.
Ist sowas denn nicht schon durch das Fundierungsaxiom „verboten“ (im Rahmen der ZF-Mengenlehre, in der naiven Mengenlehre Cantors geht das meines Wissens)?
Gruss
Paul
Hallo Michael.
Darf eine Menge ein Element von sich selbst sein, also z. B.
M := {M,{}}
Im „Stoffbeutelchenbild“ ist diese Definiton nicht sinnvoll, weil man einen
Beutel natürlich nicht in sich selbst stopfen kann. Also lautet meine unmaßgebliche Antwort: „Nein!“.
Wenn Dein Beitrag als Kritik an meinem Bild gedacht ist, dann schließe ich daraus, dass Du die oben genannte Definition aber doch für sinnvoll hältst.
Da ich von Mengenlehre keine Ahnung habe, kenne ich die allgemein anerkannte Haltung zu Deiner Frage nicht. Ich stelle nur fest, dass ich (basierend auf meinem Gedankenmodell der Beutel) keine Menge finden kann, die Deiner Definition entspricht.
Deswegen hätte ich gerne eine präzise Antwort auf die von Dir gestellte Frage! 
Ist die obige Definition sinnvoll? Und was definiert sie dann?
Liebe Grüße,
The Nameless
moin;
es könnte so zugelassen sein, da bin ich mir aber nicht sicher.
M wäre demzufolge die Menge, die aus M und der leeren Menge besteht. M als Element von M ist wiederum die Menge, die M und die leere Menge enthält und so weiter und so fort. Damit kann man M also nicht richtig anfassen (weil die Bildungsvorschrift nie terminiert), aber prinzipiell würde sie nichtsdestotrotz existieren.
Wenn ich nun als Informatiker dies beurteilen sollte, so wurde M einfach neu definiert als die Menge, die die (alte) Menge M sowie die leere Menge enthält, dort wäre dies also erst recht zulässig.
Allerdings ist dort auch, abhängig von der Programmiersprache, i=i+1 o.Ä. zulässig.
mfG
Moin,
Darf eine Menge ein Element von sich selbst sein, also z. B.
M := {M,{}}
Deswegen hätte ich gerne eine präzise Antwort auf die von Dir
gestellte Frage!
was definiert sie dann?
Im Rahmen der Cantorschen Mengenlehre kann man sowas definieren, daraus entwaechst dann sowas wie Russelsche Antinomie, Allmenge und andere schoene Dinge. In der Mengenlehre, die man „normalerweise“ betreibt, also eine axiomatische, hat sowas nicht. Durch das Fundierungsaxiom ist die Existenz einer Menge, die sich selbst als Element enthaelt, verboten.
Man kann natuerlich (und der eine oder andere tut es auch) Mengenlehre (und Mathematik) betreiben, in der bestimmte Axiome nicht gelten. Beliebtes Beispiel ist das Auswahlaxiom. Es ist dann eine andere Mathematik mit teils ueberraschenden Ergebnissen.
Gruss
Paul
Tach,
es könnte so zugelassen sein, da bin ich mir aber nicht
sicher.
M wäre demzufolge die Menge, die aus M und der leeren Menge
besteht. M als Element von M ist wiederum die Menge, die M und
die leere Menge enthält und so weiter und so fort. Damit kann
man M also nicht richtig anfassen (weil die Bildungsvorschrift
nie terminiert), aber prinzipiell würde sie nichtsdestotrotz
existieren.
Richtig. Durch das Fundierungsaxiom verbietet man genau so eine unendliche Verkettung.
Gruss
Paul
Hallo!
Wenn Dein Beitrag als Kritik an meinem Bild gedacht ist, dann
schließe ich daraus, dass Du die oben genannte Definition aber
doch für sinnvoll hältst.
Besser als Punkelchen kann ich es auch nicht ausdrücken, zumal ich kein Mathematiker ist.
Ich wollte nur die Grenzen Deines Modells aufzeigen. Für die „normale“ Mengenlehre passt es hervorragend. Aber es ist gar nicht so schwer, Aussagen zu finden, die nicht mehr durch die normale Mengenlehre erfasst werden können.
Beispiel:
Eine Menge, die keine Elemente enthält, nennen wir die „leere Menge“ {}.
Eine Menge, die nur Zahlen als Elemente enthält, nenne ich jetzt mal willkürlich „Zahlenmengen“.
Eine Menge, die Mengen als Elemente enthält, nenne ich „Mengenmenge“.
Nun bilde ich eine Menge, die alle „Mengenmengen“ enthält, und nenne sie „Supermenge“.
Klingt alles sehr logisch, bis ich mir die Frage stelle, ob die Supermenge ein Element von sich selbst ist. Die Supermenge ist nämlich offensichtlich eine Mengenmenge. Da die Supermenge alle Mengenmengen enthält, muss sie auch sich selbst enthalten. Wenn ich verbiete, dass eine Menge sich selbst enthält, ist die Supermenge unvollständig, weil es eine Mengenmenge gibt (nämlich die Supermenge), die nicht zur Supermenge gehört.
Michael
Hallo,
erstmal vielen Dank für eure Antworten und entschuldigt meine lange Abwesenheit, aber ab und zu muss man dann doch zur Uni
Die Schreibweise ist in der Tat genau so (auch mit Mengenklammer um die -4). Ist halt eine Übungsaufgabe direkt zum Einstieg in die Thematik. Ich soll zum Beispiel auch sagen, ob -4 Element ist. Was dann natürlich nicht passt.
Wenn ich mich so durch den ganzen Haufen von Antworten lese, hat doch niemand etwas dagegen einzuwenden, dass {10,12} ein Element der Menge M ist.
Vielen Dank für die schnellen Antworten und ausführlichen Erklärungen!
Im Rahmen der Cantorschen Mengenlehre kann man sowas definieren, daraus entwaechst dann sowas wie Russelsche Antinomie
Halo Paul, verzeih, daß ich mich hier anhänge. Aber weil unter der Last dieser Antinomie ein wohletabliertes Gedankengebäude zusammenbrach, will ich die von Dir gemeinte „Menge aller Mengen,die sich NICHT selbst als Element enhalten“ hinschreiben. Gruß, eck.