Hallo Donovan,
soweit ich es verstanden habe, ist es so:
Stell Dir vor, Du führst eine Messung n-mal durch. Die einzelnen Messungen sind mit zufälligen Fehlern behaftet sind (aufgrund unvermeidlicher Einflüsse, Gegensatz systematische Fehler) und deshalb nicht alle gleich, sondern um einen Mittelwert herum verteilt.
Dabei sind die meisten Meßwerte in der Nähe des Mittelwertes, einzelne („Ausreißer“) leigen weiter weg.
Wenn Du alle diese Meßwerte auf einer Skala einträgst, und die Skala in lauter gleichgroße Intervalle einteilst, so kannst Du eine Kurve zeichnen: auf der Abszisse ist die Meßgröße aufgetragen (Meßwertskala), und auf der Ordinate jeweils die Anzahl der Messungen, die in ein Intervall dieser Meßwertskala fallen. Diese Kurve stellt die Verteilung der Meßwerte um ihren Mittelwert herum dar. Für gewöhnlich (oder immer bei Messungen, die mit zufälligen Fehlern behaftet sind? - weiß ich nicht) handelt es sich dabei um die Normalverteilung.
Den „wahren Wert“ der Meßgröße kennst Du nicht, Du kannst ihn nur schätzen. Die beste Schätzung ist der Mittelwert, umso besser, je mehr Messungen vorhanden sind.
Für sehr viele Messungen nähert sich die Form dieser Verteilungskurve immer mehr der sog. Gauß’schen Glockenkurve.
Ich gehe im folgenden davon aus, daß die Meßwerte normalverteilt sind.
Grob und umgangssprachlich gesagt, ist die Breite der Verteilungskurve ein Maß für dafür, ob die Fehler der einzelnen Messungen eher klein sind, oder eher größer sind. Anders gesagt, in welchem Ausmaß die Meßwerte streuen.
Dies wird beschrieben durch:
Streuung (s zum Quadrat) = Quotient aus (Summe der Fehlerquadrate) und (Anzahl der Meßwerte minus 1).
Die Standardabweichung s ist einfach die Wurzel aus der Streuung und wird als das Maß schlechthin für die Breite der Normalverteilungskurve verwendet.
Unterschied zwischen s und sigma:
s bezieht sich auf eine Stichprobe (z. B. eine Meßwertreihe),
sigma auf die Grundgesamtheit (würde hier den Grenzübergang zu unendlich vielen Messungen bedeuten).
Praktischer Bezug: das Ergebnis einer Einzelmessung fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68 % in das Intervall [Mittelwert-Standardabweichung,Mittelwert+Standardabweichung], Mittelwert und Standardabweichungen allerdings schon aus sehr vielen Messungen gewonnen, sodaß der Mittelwert eine gute Näherung für den „wahren Wert“ ist.
Grüße,
I.
