Sehr geehrte Gemeinde,
bei Polynomfunktionen ist mir klar, wie diese Methode anzuwenden ist.
Beispiel:
Mit der Methode der kleinsten Quadrate sollen die Koeffizienten a1, a2, a3 der Funktion f(x) = a1x² + a2x + a3 anhand der gegebenen Punkten (0, -1), (2, 0), (3, 2), (4, 1) bestimmt werden.
Minimierung nach Gauß, Normalgleichungen aufstellen:
SUM[von l=1 bis k; Ajlal = bj] für (j = 1, …, k)
mit Ajl = SUM[von i = 1 bis n; fl(xi)fj(xi)]
mit bj = SUM[von i = 1 bis n; yifj(xi)]
Daraus folgt:
A =
| SUM[von i = 1 bis n; xi4 SUM[von i = 1 bis n; xi3 SUM[von i = 1 bis n; xi3]|
| SUM[von i = 1 bis n; xi3 SUM[von i = 1 bis n; xi2 SUM[von i = 1 bis n; xi1]|
| SUM[von i = 1 bis n; xi2 SUM[von i = 1 bis n; xi1 SUM[von i = 1 bis n; xi0]|
=
|353 99 29|
|99 29 9|
|29 9 3|
; b =
| SUM[von i = 1 bis n; yixi2|
| SUM[von i = 1 bis n; yixi1|
| SUM[von i = 1 bis n; yixi0|
= (34; 10; 2)
Ax = b; => x = (-3/22; 127/10; -61/55)
=> f(x) = (-3/22)x2 + (127/110)x - (61/55)
Aber wie sieht es bei folgender (exponentieller) Funktion aus? Es werden Koeffizienten c und d gesucht:
f(x) = c + dex/2
Soweit ich mich erinnern kann, soll eine 2x2 Matrix rauskommen. Aber doch nicht mit „Minimierung nach Gauß“? Das habe ich schon versucht, es sind aber falsche krumme Zahlen als Ergebnis rausgekommen.
Vielen Dank im Voraus!