Mietforderung nach Wohnungsauszug

Hallo wer weiss das,

Mietrecht
Bei Kündigung läuft der Mietvertrag bis Ende des entsprechenden Monats.
Abnahmetermin sollte am 31.1. um 12 Uhr sein

Vermieter verlangt nun die ganze Miete für Februar, da Mieter lt. MV am 31. Januar ausziehen muss und nicht am 1. Februar, ab da ist aber die neue Wohnung erst frei. Kann der Vermieter das Geld einfordern?
Oder anderst gefragt: ab welchem Tag nach Mietablauf ist eine doppelte Miete (alte + neue) gerechtfertigt. Oder können diese Tage umgerechnet werden aus der gesamt Monatsmiete?

Danke
MfG

was soll das? verscheissern lasse ich mich hier nicht! drück dich verständlich und nachvollziehbar aus!