Mietkaution nicht bezhalt, Mahnverf. Mieter zieht

Es geht wahrscheinlich um diesen hypotethischen Fall:
/t/kaution-nicht-bezahlt-mieter-will-kueche-ausbauen…
Oder?

Wenn ein Mieter die Miet-Kaution nicht bezahlt kann man ja ein
Mahnverfahren (Mahnbescheit) einleiten. Was tun, wenn der
Mieter dann mit Auszug droht? Wer bleibt auf den Kosten
(Mahnbescheitsgebühren, Anwaltgebühren, Gerichtsgebühren
usw…) sitzen?

Nicht einschüchtern lassen. Dem Mieter ist aber zukünftig zum Beitritt in einen Vermieterverein zu raten.
http://www.haus-und-grund.net/index.html
https://www.vermieterverein.de/
http://www.deutscher-vermieterverein.de/info.html
usw.
Auf den Mahnkosten wird der VM möglicherweise eh sitzen bleiben wenn beim Mieter nichts zu holen ist.
Wenn es sich um eine Einliegerwohnung handelt:
http://www.mietrechtslexikon.de/a1lexikon2/k2_kuend/…
http://www.internetratgeber-recht.de/MietrechtAllgem…
http://www.vnr.de/b2c/finanzen/immobilien/Einliegerw…

Frage 2: Kann ein Mieter dann so einfach ausziehen!

Ja klar kann er das, er wird aber die Kündigungsfrist von 3 Monaten einhalten müssen und dementsprechend für diese Zeit auch Miete zahlen müssen, ob er nun in der Wohnung wohnt oder nicht.

Gruß
Maja