Hallo,
ob Du die Wohnung ganz bezahlt bekommst, kann ich Dir nicht sagen, hängt vom Jobcenter (frühere Bezeichnung war ARGE) ab, das heißt v. Sachbearbeiter. Die müssen sich zwar ans SGB halten, ob und wie dieses handhaben ist der Willkür der Sachbearbeiter überlassen.
Dir steht als Single, eine 40 qm Wohnung zu. Beim Jobcenter, einen Termin ausmachen und Antrag auf Wohnungszuschuss beantragen. Die Sagen Dir ggf. tendenziell, was Du eventuell bekommst. Aber auch eine kleinere oder billigere Wohnung zu suchen ist etc.!
Mit freundlichen Grüßen
Wolfgang