Durch einen Leihvertrag wird der Verleiher verpflichtet, dem Entleiher den Gebrauch der Sache unentgeltlich zu gestatten (§ 598 BGB). Vorliegend wurde eine monatliche Zahlung vereinbart. Wir haben es also nicht mit einer Leihe zu tun.
Durch einen Mietvertrag wird der Vermieter verpflichtet, dem Mieter den Gebrauch der Mietsache während der Mietzeit zu gewähren (§ 535 Abs. 1 S. 1 BGB). Den Mieter verpflichtet der Mietvertrag, dem Vermieter die vereinbarte Miete zu entrichten (§ 535 Abs. 2 BGB). Das ist vorliegend der Fall. Wir haben es also mit einem Mietvertrag zu tun.
Wieso sollte der Vermieter darauf verzichten, die im Fachjargon „Miete“ genannte „Leihgebühr“ auch für die Zeit davor zu verlangen? Das Ende der Mietdauer wirkt sich hinsichtlich der offenen Mietzahlungen nur insofern aus, als statt einer Entschädigung in Höhe der vereinbarten Miete auch eine Entschädigung in Höhe der für vergleichbare Sachen ortsüblichen Miete verlangt werden kann (§ 546a Abs. 1 BGB).
Ich verweise auf meinen Beitrag vom Anfang des Monats.